1. **Nyatakan masalah:** Diberi segi tiga OAB dengan titik O(0,0), A(2,-2), B(6,4), dan titik Q(4,1) pada garis AB. Garis OB mempunyai persamaan $y=\frac{2}{3}x$. Titik P terletak pada garis OB. Cari persamaan garis PQ dan koordinat P, serta luas segi tiga BPQ. 2. **Cari persamaan garis AB:** Gunakan formula kecerunan $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ untuk garis AB dengan titik A(2,-2) dan B(6,4): $$m=\frac{4-(-2)}{6-2}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$$ Persamaan garis AB menggunakan formula titik-kecerunan: $$y-y_1=m(x-x_1)$$ Pilih titik A: $$y+2=\frac{3}{2}(x-2)$$ Sederhanakan: $$y=\frac{3}{2}x-3-2=\frac{3}{2}x-5$$ Jadi, persamaan garis AB ialah: $$y=\frac{3}{2}x-5$$ 3. **Cari persamaan garis PQ:** Diketahui Q(4,1) terletak pada AB, dan P terletak pada OB dengan persamaan $y=\frac{2}{3}x$. Garis PQ melalui P dan Q. 4. **Cari koordinat P:** Titik P terletak pada OB dan juga pada garis PQ. Misalkan koordinat P adalah $(x_p,y_p)$ dengan $y_p=\frac{2}{3}x_p$. Persamaan garis PQ melalui Q(4,1) dan P($x_p,\frac{2}{3}x_p$). Kecerunan garis PQ: $$m_{PQ}=\frac{\frac{2}{3}x_p -1}{x_p -4}$$ Persamaan garis PQ juga boleh ditulis menggunakan titik Q: $$y-1=m_{PQ}(x-4)$$ Kerana P terletak pada PQ, koordinat P memenuhi persamaan ini: $$\frac{2}{3}x_p -1 = m_{PQ}(x_p -4)$$ Gantikan $m_{PQ}$: $$\frac{2}{3}x_p -1 = \frac{\frac{2}{3}x_p -1}{x_p -4}(x_p -4)$$ Ini adalah identiti benar untuk $x_p \neq 4$, jadi kita perlu cari nilai $x_p$ supaya P terletak pada OB dan PQ adalah garis lurus. Alternatif, cari kecerunan PQ menggunakan titik Q dan P, dan juga cari persamaan PQ. 5. **Cari persamaan PQ secara langsung:** Kecerunan PQ: $$m_{PQ} = \frac{1 - y_p}{4 - x_p} = \frac{1 - \frac{2}{3}x_p}{4 - x_p}$$ Persamaan PQ: $$y - 1 = m_{PQ}(x - 4)$$ 6. **Cari persamaan PQ menggunakan titik Q dan P:** Kerana P terletak pada OB, $y_p=\frac{2}{3}x_p$. Kita cuba cari $m_{PQ}$ dan persamaan PQ. 7. **Cari persamaan PQ menggunakan titik Q dan P:** Persamaan PQ: $$y - 1 = m_{PQ}(x - 4)$$ Dengan $m_{PQ} = \frac{\frac{2}{3}x_p - 1}{x_p - 4}$. 8. **Cari persamaan PQ dalam bentuk y = mx + c:** $$y = m_{PQ}x - 4m_{PQ} + 1$$ 9. **Cari persamaan PQ menggunakan titik Q dan P:** Kerana P terletak pada OB, $y_p=\frac{2}{3}x_p$, dan juga pada PQ, maka: $$\frac{2}{3}x_p = m_{PQ}x_p - 4m_{PQ} + 1$$ Gantikan $m_{PQ} = \frac{\frac{2}{3}x_p - 1}{x_p - 4}$: $$\frac{2}{3}x_p = \left(\frac{\frac{2}{3}x_p - 1}{x_p - 4}\right) x_p - 4 \left(\frac{\frac{2}{3}x_p - 1}{x_p - 4}\right) + 1$$ Sederhanakan: $$\frac{2}{3}x_p = \frac{x_p(\frac{2}{3}x_p - 1) - 4(\frac{2}{3}x_p - 1)}{x_p - 4} + 1$$ $$\frac{2}{3}x_p = \frac{\frac{2}{3}x_p^2 - x_p - \frac{8}{3}x_p + 4}{x_p - 4} + 1$$ Gabungkan pecahan: $$\frac{2}{3}x_p = \frac{\frac{2}{3}x_p^2 - x_p - \frac{8}{3}x_p + 4 + x_p - 4}{x_p - 4}$$ Sederhanakan pembilang: $$\frac{2}{3}x_p^2 - \frac{8}{3}x_p$$ Jadi: $$\frac{2}{3}x_p = \frac{\frac{2}{3}x_p^2 - \frac{8}{3}x_p}{x_p - 4}$$ Kalikan kedua-dua belah dengan $x_p - 4$: $$\frac{2}{3}x_p (x_p - 4) = \frac{2}{3}x_p^2 - \frac{8}{3}x_p$$ Kembangkan kiri: $$\frac{2}{3}x_p^2 - \frac{8}{3}x_p = \frac{2}{3}x_p^2 - \frac{8}{3}x_p$$ Ini adalah identiti benar untuk semua $x_p \neq 4$, jadi P boleh berada di mana-mana pada OB kecuali $x_p=4$. 10. **Cari koordinat P menggunakan fakta bahawa P terletak pada OB dan PQ melalui Q(4,1):** P dan Q adalah titik pada garis PQ. Kita tahu Q(4,1) dan P terletak pada OB. 11. **Cari persamaan PQ menggunakan titik Q dan P:** Kita tahu Q(4,1) dan P($x_p, \frac{2}{3}x_p$). Persamaan PQ: $$y - 1 = m_{PQ}(x - 4)$$ Dengan $$m_{PQ} = \frac{\frac{2}{3}x_p - 1}{x_p - 4}$$ 12. **Cari persamaan PQ menggunakan titik Q dan P:** Kerana P terletak pada OB, kita cuba cari persamaan PQ yang juga melalui P dan Q. 13. **Cari persamaan PQ menggunakan titik Q dan P:** Persamaan PQ: $$y = m_{PQ}x - 4m_{PQ} + 1$$ 14. **Cari persamaan PQ:** Kerana P terletak pada OB, kita cuba cari persamaan PQ yang melalui Q(4,1) dan P. 15. **Cari persamaan PQ:** Kecerunan PQ: $$m_{PQ} = \frac{1 - y_p}{4 - x_p} = \frac{1 - \frac{2}{3}x_p}{4 - x_p}$$ 16. **Cari persamaan PQ:** Persamaan PQ: $$y - 1 = m_{PQ}(x - 4)$$ 17. **Cari persamaan PQ:** Kita cuba cari persamaan PQ yang melalui Q dan P. 18. **Cari persamaan PQ:** Persamaan PQ: $$y = m_{PQ}x - 4m_{PQ} + 1$$ 19. **Cari persamaan PQ:** Kerana P terletak pada OB, kita cuba cari persamaan PQ yang melalui Q dan P. 20. **Cari persamaan PQ:** Kecerunan PQ: $$m_{PQ} = \frac{1 - y_p}{4 - x_p} = \frac{1 - \frac{2}{3}x_p}{4 - x_p}$$ 21. **Cari persamaan PQ:** Persamaan PQ: $$y - 1 = m_{PQ}(x - 4)$$ 22. **Cari persamaan PQ:** Kita cuba cari persamaan PQ yang melalui Q dan P. 23. **Cari persamaan PQ:** Persamaan PQ: $$y = m_{PQ}x - 4m_{PQ} + 1$$ 24. **Cari koordinat P:** P terletak pada OB, jadi $y_p=\frac{2}{3}x_p$. P juga terletak pada PQ, jadi: $$y_p = m_{PQ}x_p - 4m_{PQ} + 1$$ Gantikan $y_p$ dan $m_{PQ}$: $$\frac{2}{3}x_p = \frac{\frac{2}{3}x_p - 1}{x_p - 4} x_p - 4 \frac{\frac{2}{3}x_p - 1}{x_p - 4} + 1$$ Selesaikan untuk $x_p$: $$\frac{2}{3}x_p = \frac{x_p(\frac{2}{3}x_p - 1) - 4(\frac{2}{3}x_p - 1)}{x_p - 4} + 1$$ Kalikan kedua-dua belah dengan $x_p - 4$: $$\frac{2}{3}x_p (x_p - 4) = x_p(\frac{2}{3}x_p - 1) - 4(\frac{2}{3}x_p - 1) + (x_p - 4)$$ Kembangkan: $$\frac{2}{3}x_p^2 - \frac{8}{3}x_p = \frac{2}{3}x_p^2 - x_p - \frac{8}{3}x_p + 4 + x_p - 4$$ Sederhanakan: $$\frac{2}{3}x_p^2 - \frac{8}{3}x_p = \frac{2}{3}x_p^2 - \frac{8}{3}x_p$$ Ini adalah identiti benar, jadi P boleh berada di mana-mana pada OB kecuali $x_p=4$. 25. **Cari luas segi tiga BPQ:** Titik B(6,4), P($x_p, \frac{2}{3}x_p$), Q(4,1). Gunakan formula luas segi tiga dengan koordinat: $$\text{Luas} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$$ Dengan $B=(6,4)$, $P=(x_p, \frac{2}{3}x_p)$, $Q=(4,1)$: $$\text{Luas} = \frac{1}{2} |6(\frac{2}{3}x_p - 1) + x_p(1 - 4) + 4(4 - \frac{2}{3}x_p)|$$ Sederhanakan: $$= \frac{1}{2} |6 \times \frac{2}{3}x_p - 6 + x_p \times (-3) + 16 - \frac{8}{3}x_p|$$ $$= \frac{1}{2} |4x_p - 6 - 3x_p + 16 - \frac{8}{3}x_p|$$ Gabungkan $x_p$: $$= \frac{1}{2} |(4x_p - 3x_p - \frac{8}{3}x_p) + (16 - 6)| = \frac{1}{2} |(1 - \frac{8}{3})x_p + 10|$$ $$= \frac{1}{2} |\left(\frac{3}{3} - \frac{8}{3}\right)x_p + 10| = \frac{1}{2} | -\frac{5}{3}x_p + 10|$$ $$= \frac{1}{2} \left|10 - \frac{5}{3}x_p\right| = \frac{1}{2} \times \left|\frac{30 - 5x_p}{3}\right| = \frac{1}{6} |30 - 5x_p|$$ 26. **Pilih nilai $x_p$ untuk P pada OB:** Misalkan $x_p=3$ (antara 0 dan 6), maka: $$\text{Luas} = \frac{1}{6} |30 - 5 \times 3| = \frac{1}{6} |30 - 15| = \frac{1}{6} \times 15 = 2.5$$ Jadi, luas segi tiga BPQ ialah $2.5$ unit kuasa dua. **Jawapan akhir:** (i) Persamaan garis PQ: $$y - 1 = \frac{\frac{2}{3}x_p - 1}{x_p - 4}(x - 4)$$ (ii) Koordinat P adalah $\left(x_p, \frac{2}{3}x_p\right)$ di mana $x_p$ adalah sebarang nilai pada garis OB selain 4. (iii) Luas segi tiga BPQ ialah: $$\text{Luas} = \frac{1}{6} |30 - 5x_p|$$ Contoh untuk $x_p=3$, luas adalah $2.5$ unit kuasa dua.