1. **Énoncé du problème** : Dans un repère orthonormé (O; I; J), on étudie les points A(2, -3), B(-2, -1) et C(4, 1). 1.a) Placer les points A, B et C dans le plan. 1.b) Vérifier si A, B et C sont alignés. - On calcule les vecteurs \( \overrightarrow{AB} = B - A = (-2-2, -1+3) = (-4, 2) \) - \( \overrightarrow{AC} = C - A = (4-2, 1+3) = (2, 4) \) - Les points sont alignés si ces vecteurs sont colinéaires, c’est-à-dire \( \exists k \) tel que \( \overrightarrow{AB} = k \overrightarrow{AC} \). - Ici, \( (-4, 2) = k(2, 4) \Rightarrow \begin{cases} -4 = 2k \\ 2 = 4k \end{cases} \Rightarrow k=-2 \) et \( k=\frac{1}{2} \) ce qui est impossible. - Donc, les points A, B et C ne sont pas alignés. 1.c) Montrer que \( \overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AC} \) et calculer les longueurs AB et AC. - Produit scalaire \( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (-4)(2) + 2(4) = -8 + 8 = 0 \) donc \( AB \perp AC \). - Longueur \( AB = \sqrt{(-4)^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \). - Longueur \( AC = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \). 2. Soit \((\phi)\) le cercle de diamètre \([AB]\). 2.a) Le centre K de ce cercle est le milieu de \([AB]\) : - \( K = \left( \frac{2 + (-2)}{2}, \frac{-3 + (-1)}{2} \right) = (0, -2) \). 2.b) Vérifier si I et J appartiennent au cercle \((\phi)\). - En repère orthonormé, I et J sont les vecteurs unitaires, donc : - Point I : (1, 0), calcul de la distance KI : \( KI = \sqrt{(1-0)^2 + (0+2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \). - Rayon du cercle \( r = \frac{AB}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5} \). - Comme \( KI = r \), I appartient au cercle. - Pour J(0,1), distance KJ : \( \sqrt{(0-0)^2 + (1+2)^2} = 3 \neq r \), donc J n’appartient pas au cercle. 2.c) En déduire que ABC est un triangle inscrit dans un cercle \((\phi)\) de diamètre AB avec I sur le cercle ; le triangle ABI est rectangle isocèle en I. - Voir que\( AI = BI \) et que \( \angle I \) est droit : - \( AI = \sqrt{(1-2)^2+(0+3)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \). - \( BI = \sqrt{(1+2)^2+(0+1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \). - Donc triangle ABI est isocèle en I. - De plus, AB est diamètre, donc \( \angle AIB = 90^\circ \), triangle rectangle. 3. La perpendiculaire à (AC) passant par I coupe (AC) en L. - Montrer que L est le milieu de [AC]. - Le point L est projeté orthogonal de I sur AC. - Calcul du vecteur unitaire \( \overrightarrow{AC} = (2,4) \). - La projection scalairisée de \( \overrightarrow{AI} = I - A = (1-2,0+3) = (-1,3) \) sur \( \overrightarrow{AC} \) est : - \( \lambda = \frac{\overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{AC}}{\|AC\|^2} = \frac{(-1)(2) + (3)(4)}{20} = \frac{-2+12}{20} = \frac{10}{20} = 0.5 \). - Donc \( L = A + 0.5 \cdot \overrightarrow{AC} = (2, -3) + 0.5 (2,4) = (3, -1) \), ce qui est bien le milieu de AC. 4. Déterminer les coordonnées de I, K et L dans la base (AB; AC). - Vecteurs de base : \( \overrightarrow{AB} = (-4, 2), \overrightarrow{AC} = (2, 4) \). - Coordonnées de I (1, 0) dans base (AB, AC) : - On cherche \( (x, y) \) tels que \( x\overrightarrow{AB} + y \overrightarrow{AC} = (1, 0) \). - Equations : \( -4x + 2y = 1 \) et \( 2x + 4y = 0 \). - De la deuxième : \( 2x = -4y \Rightarrow x = -2y \). - Substitution : \( -4(-2y) + 2y = 1 \Rightarrow 8y + 2y = 1 \Rightarrow 10y =1 \Rightarrow y= \frac{1}{10} \). - Donc \( x = -2 \times \frac{1}{10} = -\frac{1}{5} \). - Coordonnées de I : \( \left(-\frac{1}{5}, \frac{1}{10} \right) \). - Coordonnées de K (0, -2): - \( -4x + 2y = 0 \), \( 2x + 4y = -2 \). - De la première : \( -4x + 2y = 0 \Rightarrow 2y = 4x \Rightarrow y = 2x \). - Dans la deuxième : \( 2x + 4(2x) = -2 \Rightarrow 2x + 8x = -2 \Rightarrow 10x = -2 \Rightarrow x = -\frac{1}{5} \). - Donc \( y = 2 \times -\frac{1}{5} = -\frac{2}{5} \). - Coordonnées de K : \(\left(-\frac{1}{5}, -\frac{2}{5}\right)\). - Coordonnées de L (3, -1): - \( -4x + 2y = 3 \), \( 2x + 4y = -1 \). - De la première, on a \( 2y = 3 + 4x \Rightarrow y = \frac{3}{2} + 2x \). - Dans la deuxième : \( 2x + 4\left(\frac{3}{2} + 2x\right) = -1 \Rightarrow 2x + 6 + 8x = -1 \Rightarrow 10x = -7 \Rightarrow x = -\frac{7}{10} \). - Alors \( y = \frac{3}{2} + 2 \times -\frac{7}{10} = \frac{3}{2} - \frac{14}{10} = 1.5 - 1.4 = 0.1 = \frac{1}{10} \). - Coordonnées de L : \(\left(-\frac{7}{10}, \frac{1}{10}\right)\).