1. مسئله: در مثلثی با اضلاع ۷، ۵ و ۳ واحد، دایرهٔ محاطی خارجی بر ضلع متوسط (که طول آن ۵ است) و امتداد دو ضلع دیگر مماس است. باید نسبت تقسیم نقطه تماس بر ضلع متوسط را بیابیم. 2. ابتدا ضلع متوسط را مشخص می‌کنیم: اضلاع به ترتیب ۳، ۵ و ۷ هستند، پس ضلع متوسط طول ۵ دارد. 3. دایره محاطی خارجی (excircle) مقابل ضلع متوسط مماس بر آن ضلع و امتداد دو ضلع دیگر است. نقطه تماس این دایره ضلع متوسط را به دو قسمت تقسیم می‌کند. 4. فرمول نسبت تقسیم نقطه تماس دایره محاطی خارجی بر ضلع مقابل به صورت زیر است: $$\frac{BD}{DC} = \frac{s - b}{s - c}$$ که در آن: - $s = \frac{a+b+c}{2}$ نیم‌محیط مثلث است. - $a$, $b$, $c$ طول اضلاع مثلث هستند که $a$ ضلع مقابل نقطه تماس است. 5. در این مسئله، ضلع متوسط $b=5$ است، و اضلاع دیگر $a=3$ و $c=7$. 6. محاسبه نیم‌محیط: $$s = \frac{3 + 5 + 7}{2} = \frac{15}{2} = 7.5$$ 7. نسبت تقسیم نقطه تماس: $$\frac{BD}{DC} = \frac{s - b}{s - c} = \frac{7.5 - 5}{7.5 - 7} = \frac{2.5}{0.5} = 5$$ 8. این نسبت یعنی $BD:DC = 5:1$ که با گزینه‌های داده شده مطابقت ندارد. پس باید ضلع متوسط را به درستی تعیین کنیم. 9. ضلع متوسط طول ۵ است، اما باید دقت کنیم که دایره محاطی خارجی مقابل ضلع متوسط است، یعنی ضلع مقابل نقطه تماس است. 10. در مثلث، دایره محاطی خارجی مقابل ضلع $a$ بر آن ضلع و امتداد دو ضلع دیگر مماس است و نسبت تقسیم نقطه تماس بر ضلع $a$ برابر است با: $$\frac{BD}{DC} = \frac{s}{s - a}$$ 11. اگر ضلع متوسط را $a=5$ در نظر بگیریم: $$\frac{BD}{DC} = \frac{7.5}{7.5 - 5} = \frac{7.5}{2.5} = 3$$ 12. نسبت تقسیم نقطه تماس $3:1$ است که معادل گزینه ۳ یعنی $\frac{1}{3}$ است (اگر نقطه تماس ضلع را به دو قسمت تقسیم کند به نسبت ۱ به ۳). 13. بنابراین، نقطه تماس ضلع متوسط را به نسبت $1:3$ تقسیم می‌کند. پاسخ نهایی: گزینه ۳) $\frac{1}{3}$