1. مسئله: اندازه پاره‌خط AB در دایره مثلثاتی برابر $\sqrt{3} + \sqrt{2}$ است. نقطه A روی محور طول‌ها (محور x) در سمت منفی قرار دارد و نقطه B روی محیط دایره در ربع اول است. هدف یافتن فاصله نقطه B تا محور طول‌ها (محور x) است. 2. فرمول‌ها و نکات مهم: - دایره مثلثاتی واحد است، یعنی شعاع دایره برابر 1 است. - نقطه A روی محور x منفی است، پس مختصات آن $A(-1,0)$ است. - فاصله بین دو نقطه $A(x_1,y_1)$ و $B(x_2,y_2)$ برابر است با: $$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$ - چون B روی دایره واحد است، مختصات آن به صورت $B(\cos \theta, \sin \theta)$ است که $\theta$ زاویه نقطه B با محور x است. 3. محاسبه فاصله AB: $$\sqrt{(\cos \theta + 1)^2 + (\sin \theta - 0)^2} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$$ 4. ساده‌سازی: $$\sqrt{(\cos \theta + 1)^2 + \sin^2 \theta} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$$ 5. چون $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ داریم: $$\sqrt{(\cos^2 \theta + 2\cos \theta + 1) + \sin^2 \theta} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$$ $$\sqrt{1 + 2\cos \theta + 1} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$$ $$\sqrt{2 + 2\cos \theta} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$$ 6. مربع دو طرف: $$2 + 2\cos \theta = (\sqrt{3} + \sqrt{2})^2 = 3 + 2\sqrt{6} + 2 = 5 + 2\sqrt{6}$$ 7. حل برای $\cos \theta$: $$2\cos \theta = 5 + 2\sqrt{6} - 2 = 3 + 2\sqrt{6}$$ $$\cos \theta = \frac{3 + 2\sqrt{6}}{2}$$ 8. مقدار $\cos \theta$ بزرگ‌تر از 1 است که غیرممکن است، پس باید بررسی کنیم که آیا مقدار داده شده برای فاصله AB صحیح است یا خیر. احتمالاً منظور اندازه پاره‌خط AB نیست بلکه مجموع $\sqrt{3} + \sqrt{2}$ است که باید به صورت عددی بررسی شود. 9. مقدار عددی: $$\sqrt{3} \approx 1.732, \quad \sqrt{2} \approx 1.414$$ $$\sqrt{3} + \sqrt{2} \approx 3.146$$ 10. فاصله AB نمی‌تواند بیشتر از قطر دایره واحد (2) باشد، پس این مقدار غیرممکن است. احتمالاً منظور اندازه پاره‌خط AB نیست بلکه مجموع طول‌های دیگری است یا سوال نیاز به بازبینی دارد. 11. با توجه به گزینه‌ها و اینکه نقطه B در ربع اول است، فاصله نقطه B تا محور طول‌ها برابر مقدار $y$ مختصات B است یعنی $\sin \theta$. 12. گزینه‌های داده شده: - $\frac{\sqrt{3}}{4} \approx 0.433$ - $\frac{\sqrt{2}}{3} \approx 0.471$ - $\frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$ - $\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707$ 13. با توجه به اینکه نقطه A در $(-1,0)$ است و فاصله AB باید برابر $\sqrt{3} + \sqrt{2}$ باشد که غیرممکن است، احتمالاً سوال به اشتباه مطرح شده یا منظور چیز دیگری است. اما با فرض اینکه فاصله AB برابر $\sqrt{3} + \sqrt{2}$ است و نقطه B در ربع اول، فاصله B تا محور طول‌ها (یعنی $y$ مختصات B) باید بزرگترین مقدار ممکن باشد که در گزینه‌ها $\frac{\sqrt{3}}{2}$ است. پاسخ نهایی: گزینه ۳) $\frac{\sqrt{3}}{2}$