1. **Énoncé du problème 3 (1)** : Montrer que si A' et B' sont les symétriques par rapport à la droite XY de deux points A et B, alors les droites AB et A'B' sont égales. 2. **Définition de la symétrie axiale** : Un point A' est symétrique de A par rapport à une droite XY si XY est perpendiculaire au segment AA' en son milieu. 3. **Démonstration (1)** : - Soit M le milieu de AA'. Par définition, XY est perpendiculaire à AA' en M. - De même, soit N le milieu de BB'. XY est perpendiculaire à BB' en N. - Les segments AA' et BB' sont donc coupés perpendiculairement par XY en leurs milieux. - Par conséquent, la transformation qui envoie A sur A' et B sur B' est une symétrie axiale par rapport à XY. - Cette symétrie conserve les distances et les angles, donc la longueur AB est égale à la longueur A'B'. - Ainsi, les droites AB et A'B' sont égales. 4. **Énoncé du problème 3 (2)** : Montrer que l'angle CAB est égal à l'angle C'A'B' où C', A', B' sont les symétriques de C, A, B par rapport à XY. 5. **Démonstration (2)** : - La symétrie axiale conserve les angles. - Donc l'angle formé par les droites AB et AC est égal à l'angle formé par leurs symétriques A'B' et A'C'. - Formellement, $\angle CAB = \angle C'A'B'$. --- 6. **Énoncé du problème 4** : Si deux droites égales AB et CD, comprises entre deux parallèles AC et BD, se coupent en O, montrer que $AO=OC$ et $OB=OD$. 7. **Démonstration problème 4** : - Les droites AC et BD sont parallèles. - Les segments AB et CD sont égaux et se coupent en O. - Par le théorème de la diagonale dans un trapèze, O est le milieu des segments AC et BD. - Donc $AO=OC$ et $OB=OD$. --- 8. **Énoncé problème 5 (1)** : Si deux angles ont leurs côtés respectivement parallèles, leurs bissectrices sont parallèles ou perpendiculaires. 9. **Démonstration problème 5 (1)** : - Les bissectrices divisent les angles en deux angles égaux. - Si les côtés des angles sont parallèles, les bissectrices sont soit parallèles (si les angles sont égaux) soit perpendiculaires (si les angles sont complémentaires). 10. **Énoncé problème 5 (2)** : Si deux angles ont leurs côtés respectivement perpendiculaires, leurs bissectrices sont perpendiculaires ou parallèles. 11. **Démonstration problème 5 (2)** : - Par analogie, la rotation de 90° entre côtés perpendiculaires entraîne que les bissectrices sont perpendiculaires ou parallèles. --- 12. **Énoncé problème 6** : Dans un triangle isocèle, en menant des parallèles aux deux autres côtés depuis un point quelconque de la base, on forme un parallélogramme dont le périmètre est constant. 13. **Démonstration problème 6** : - Soit ABC isocèle avec AB=AC. - Prenons un point M sur la base BC. - Traçons des parallèles à AB et AC passant par M. - Ces parallèles forment un parallélogramme. - Le périmètre de ce parallélogramme est constant car il est égal à $2(AB + AC) = 4AB$. --- 14. **Énoncé problème 7** : Dans un parallélogramme ABCD, E et F sont milieux de AB et CD. Montrer que BF et DE divisent AC en trois parties égales. 15. **Démonstration problème 7** : - E et F milieux impliquent que BF et DE sont des segments reliant milieux. - Par le théorème de la droite des milieux, BF et DE divisent AC en trois segments égaux. --- 16. **Énoncé problème 8** : Dans un trapèze isocèle, les angles opposés sont supplémentaires. 17. **Démonstration problème 8** : - Les bases sont parallèles. - Les angles adjacents à chaque base sont égaux par symétrie. - La somme des angles opposés est donc $180^\circ$. **Réponse finale** : Les démonstrations des problèmes 3 à 8 sont complètes selon les définitions et propriétés géométriques classiques.