1. **Énoncé du problème :** On travaille dans le plan complexe avec les points A(-1,1), B(2,-2), C(2,2), D(2,-1) et le cercle \(\mathscr{C}\) de centre C et rayon 2. 2. **Placer les points A, B, C, D :** - A à (-1,1), B à (2,-2), C à (2,2), D à (2,-1). 3. **Prouver que le triangle ABC est isocèle rectangle en A :** - Calcul des vecteurs : \[ \overrightarrow{AB} = (2 - (-1), -2 - 1) = (3, -3) \] \[ \overrightarrow{AC} = (2 - (-1), 2 - 1) = (3, 1) \] - Calcul des longueurs : \[ AB = \sqrt{3^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \] \[ AC = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \] - Calcul du produit scalaire : \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 3 \times 3 + (-3) \times 1 = 9 - 3 = 6 \neq 0 \] - Calcul du vecteur \( \overrightarrow{BC} = (2 - 2, 2 - (-2)) = (0, 4) \) et sa longueur : \[ BC = 4 \] - Vérifions si le triangle est rectangle en A en calculant \( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} \) : Le produit n'est pas nul, donc pas angle droit en A. - Vérifions les autres angles : \[ \overrightarrow{BA} = (-3, 3), \overrightarrow{BC} = (0, 4) \] \[ \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = -3 \times 0 + 3 \times 4 = 12 \neq 0 \] \[ \overrightarrow{CA} = (-3, -1), \overrightarrow{CB} = (0, -4) \] \[ \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = -3 \times 0 + (-1) \times (-4) = 4 \neq 0 \] - Conclusion : le triangle n'est pas rectangle en A, il faut vérifier l'énoncé ou recalculer. 4. **Montrer que [BD] est diamètre de \(\mathscr{C}\) :** - Centre C(2,2), rayon 2. - Calcul de la distance BD : \[ BD = \sqrt{(2 - 2)^2 + (-1 - (-2))^2} = \sqrt{0 + 1^2} = 1 \] - Rayon est 2, donc BD ne peut pas être diamètre (diamètre = 2 \times rayon = 4). - Vérifions les coordonnées de B et D : B(2,-2), D(2,-1), distance BD = 1. - Peut-être erreur dans l'énoncé ou coordonnées. 5. **Nature du quadrilatère OACD :** - Points O(0,0), A(-1,1), C(2,2), D(2,-1). - Calcul des vecteurs : \[ \overrightarrow{OA} = (-1,1), \overrightarrow{OC} = (2,2), \overrightarrow{OD} = (2,-1) \] - Vérifions si OACD est un parallélogramme : \[ \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{CD} = ? \] \[ \overrightarrow{CD} = (2 - 2, -1 - 2) = (0, -3) \] \[ \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{CD} = (-1,1) + (0,-3) = (-1,-2) \neq \overrightarrow{OD} \] - Conclusion : OACD n'est pas un parallélogramme. 6. **Vecteur \(\overrightarrow{OI} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{i} + \overrightarrow{j})\) :** - \( \overrightarrow{OI} = \left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right) \) 7. **Angle orienté \((\overrightarrow{i}, \overrightarrow{CI})\) :** - \( \overrightarrow{CI} = \overrightarrow{OI} - \overrightarrow{OC} = \left(\frac{1}{3} - 2, \frac{1}{3} - 2\right) = \left(-\frac{5}{3}, -\frac{5}{3}\right) \) - Calcul de l'angle \( \theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) = \arctan\left(\frac{-\frac{5}{3}}{-\frac{5}{3}}\right) = \arctan(1) = \frac{\pi}{4} \) - Comme les deux coordonnées sont négatives, le vecteur est dans le troisième quadrant, donc \( \theta = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} \). 8. **Ensemble des points M tels que \( \frac{x}{2} = \frac{y}{3} = t \) :** - Paramétrisation : \[ x = 2t, \quad y = 3t, \quad t \in \mathbb{R} \] - C'est une droite passant par l'origine de vecteur directeur (2,3). 9. **Point N d'affixe \( 2(1 - i) \) :** - Coordonnées de N : \[ x_N = 2 \times 1 = 2, \quad y_N = 2 \times (-1) = -2 \] 10. **Vérifier que A est milieu de [MN] :** - Coordonnées de M inconnues, supposons M(x_M,y_M). - Milieu de [MN] : \[ \left(\frac{x_M + 2}{2}, \frac{y_M - 2}{2}\right) = (-1,1) \] - Résolution : \[ \frac{x_M + 2}{2} = -1 \Rightarrow x_M + 2 = -2 \Rightarrow x_M = -4 \] \[ \frac{y_M - 2}{2} = 1 \Rightarrow y_M - 2 = 2 \Rightarrow y_M = 4 \] - Donc M = (-4,4). 11. **Quadrilatère OMBN :** - Points O(0,0), M(-4,4), B(2,-2), N(2,-2). - Vérifier si OMBN est un parallélogramme : \[ \overrightarrow{OM} = (-4,4), \overrightarrow{BN} = (2 - 2, -2 - (-2)) = (0,0) \] - Comme B et N sont identiques, OMBN est dégénéré. 12. **Valeur de x pour que OMBN soit un losange :** - Non applicable car B et N confondus. 13. **Représentation des points M et N :** - M(-4,4), N(2,-2). **Résumé :** - Triangle ABC n'est pas isocèle rectangle en A selon calculs. - Segment BD n'est pas diamètre du cercle \(\mathscr{C}\). - Quadrilatère OACD n'est pas parallélogramme. - Vecteur \(\overrightarrow{OI} = \left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right)\), angle orienté \(\frac{5\pi}{4}\). - Ensemble des points M est une droite paramétrée. - A est milieu de [MN] avec M = (-4,4).