1. **Énoncé du problème :** Soit un triangle ABC avec un point I tel que $\overrightarrow{AI} = -\frac{4}{2} \overrightarrow{AB} = -2 \overrightarrow{AB}$. On définit le barycentre $G = \mathrm{bar}\{(A,3); (B,-1); (C,3)\}$. 2. **Construction du point I :** - La relation vectorielle $\overrightarrow{AI} = -2 \overrightarrow{AB}$ signifie que I est sur la droite (AB) mais dans le sens opposé à B par rapport à A, à une distance double de AB. - Formellement, $I = A + \overrightarrow{AI} = A - 2 \overrightarrow{AB} = A - 2(B - A) = 3A - 2B$. 3. **Montrer que $I = \mathrm{bar}\{(A,3); (B,-1)\}$ :** - Le barycentre $\mathrm{bar}\{(A,3); (B,-1)\}$ est donné par $$I = \frac{3A - 1B}{3 - 1} = \frac{3A - B}{2}$$ - Or, on a $I = 3A - 2B$ de la construction précédente. - Multiplions l'expression barycentrique par 2 : $2I = 3A - B$. - Multiplions l'expression vectorielle par 1 : $I = 3A - 2B$. - Il y a une contradiction apparente, donc revérifions : - En fait, la définition barycentrique est $I = \frac{3A + (-1)B}{3 + (-1)} = \frac{3A - B}{2}$. - La relation vectorielle donne $I = A - 2(B - A) = 3A - 2B$. - Pour que ces deux soient égales, posons $3A - 2B = \frac{3A - B}{2}$, ce qui n'est pas vrai. - Donc, il faut corriger la donnée initiale : $\overrightarrow{AI} = -\frac{4}{2} \overrightarrow{AB} = -2 \overrightarrow{AB}$, ce qui correspond à $I = A - 2(B - A) = 3A - 2B$. - Le barycentre $\mathrm{bar}\{(A,3); (B,-1)\}$ est $\frac{3A - B}{2}$. - Pour que $I$ soit barycentre, il faut que $I = \frac{3A - B}{2}$, donc la donnée vectorielle doit être $\overrightarrow{AI} = \frac{I - A}{1} = \frac{3A - B}{2} - A = \frac{3A - B - 2A}{2} = \frac{A - B}{2} = -\frac{1}{2} \overrightarrow{AB}$. - Donc la donnée initiale semble erronée ou mal interprétée. 4. **En déduire que $G = \mathrm{bar}\{(I,2); (C,3)\}$ et construire G :** - Par définition, $G = \mathrm{bar}\{(A,3); (B,-1); (C,3)\}$. - En regroupant $A$ et $B$ en $I$ avec poids 2, on a $$G = \mathrm{bar}\{(I,2); (C,3)\}$$ - Cela vient de la propriété de barycentre : $$3A - 1B = 2I$$ - Donc $G = \frac{2I + 3C}{2 + 3} = \frac{2I + 3C}{5}$. 5. **Conclusion :** - Le point I est construit sur la droite (AB) selon la relation vectorielle donnée. - Le barycentre G peut être exprimé en fonction de I et C. **Réponse finale :** - $I = A - 2 \overrightarrow{AB}$ - $G = \mathrm{bar}\{(I,2); (C,3)\}$