1. **Énoncé du problème :** Soit ABCD un rectangle avec AB = 5 cm et BC = 2 cm. On considère les points I barycentre des points (A,2) et (B,1), et J barycentre des points (C,-1) et (D,2). 2. **Définition du barycentre :** Le barycentre de points pondérés $(P_1, m_1)$ et $(P_2, m_2)$ est donné par $$\vec{OG} = \frac{m_1 \vec{OP_1} + m_2 \vec{OP_2}}{m_1 + m_2}$$ avec $m_1 + m_2 \neq 0$. 3. **Calcul du point I :** - Les poids sont 2 pour A et 1 pour B. - La relation vectorielle est $$\vec{OI} = \frac{2\vec{OA} + 1\vec{OB}}{2 + 1} = \frac{2\vec{OA} + \vec{OB}}{3}$$ - Construisons I : - $\vec{OA}$ est le vecteur position de A. - $\vec{OB}$ est le vecteur position de B. - $\vec{OI}$ est la moyenne pondérée des vecteurs $2\vec{OA}$ et $\vec{OB}$ divisée par 3. 4. **Calcul du point J :** - Les poids sont -1 pour C et 2 pour D. - La relation vectorielle est $$\vec{OJ} = \frac{-1\vec{OC} + 2\vec{OD}}{-1 + 2} = \frac{-\vec{OC} + 2\vec{OD}}{1} = -\vec{OC} + 2\vec{OD}$$ - Construisons J en combinant les vecteurs $-\vec{OC}$ et $2\vec{OD}$. 5. **Résumé :** - $\boxed{\vec{OI} = \frac{2\vec{OA} + \vec{OB}}{3}}$ - $\boxed{\vec{OJ} = -\vec{OC} + 2\vec{OD}}$ Ces relations définissent les points I et J par barycentre.