1. **Énoncé du problème :** Soit ABCD un rectangle avec $AB=5$ cm et $BC=2$ cm. On considère les points : - $I$ barycentre des points $(A,2)$ et $(B,1)$ - $J$ barycentre des points $(C,-1)$ et $(D,2)$ 2. **Définition du barycentre :** Le barycentre de points pondérés $(P_i, \\alpha_i)$ est donné par $$\vec{OG} = \frac{\\sum \\alpha_i \vec{OP_i}}{\\sum \\alpha_i}$$ 3. **Calcul de $I$ :** $$\vec{OI} = \frac{2\vec{OA} + 1\vec{OB}}{2+1} = \frac{2\vec{OA} + \vec{OB}}{3}$$ 4. **Calcul de $J$ :** $$\vec{OJ} = \frac{-1\vec{OC} + 2\vec{OD}}{-1+2} = \vec{OD} - \vec{OC}$$ 5. **Coordonnées des points du rectangle :** Posons $A=(0,0)$, $B=(5,0)$, $C=(5,2)$, $D=(0,2)$. 6. **Calcul des coordonnées de $I$ :** $$I = \frac{2(0,0) + 1(5,0)}{3} = \left(\frac{5}{3}, 0\right)$$ 7. **Calcul des coordonnées de $J$ :** $$J = -1(5,2) + 2(0,2) = (-5,-2) + (0,4) = (-5,2)$$ Puis divisé par $1$ (car $-1+2=1$), donc $$J = (-5,2)$$ 8. **Relation vectorielle pour $I$ :** $$\vec{OI} = \frac{2\vec{OA} + \vec{OB}}{3}$$ 9. **Relation vectorielle pour $J$ :** $$\vec{OJ} = \frac{-\vec{OC} + 2\vec{OD}}{1}$$ --- **Réponse finale :** - $I$ est défini par $\vec{OI} = \frac{2\vec{OA} + \vec{OB}}{3}$ avec coordonnées $\left(\frac{5}{3}, 0\right)$. - $J$ est défini par $\vec{OJ} = -\vec{OC} + 2\vec{OD}$ avec coordonnées $(-5, 2)$.