1. مسئله: ما می‌دانیم که EB و BC و ABCD مربع هستند و مساحت EB برابر مساحت ABCD است. باید مساحت مثلث ABE را محاسبه کنیم. 2. تعریف‌ها و فرمول‌ها: - مساحت مربع برابر است با طول ضلع به توان دو: $$\text{مساحت} = \text{ضلع}^2$$ - مساحت مثلث با قاعده و ارتفاع: $$\text{مساحت مثلث} = \frac{1}{2} \times \text{قاعده} \times \text{ارتفاع}$$ 3. تحلیل مسئله: - فرض کنیم ضلع مربع ABCD برابر با $a$ باشد. - مساحت مربع ABCD برابر است با $$a^2$$ - مربع BC ضلعش برابر با طول BC است که برابر $a$ است، پس مساحت مربع BC برابر $$a^2$$ - مربع EB ضلعش برابر طول EB است. چون مساحت مربع EB برابر مساحت مربع ABCD است، پس ضلع EB برابر $a$ است. 4. موقعیت نقاط: - نقطه E روی ضلع AD قرار دارد. - ضلع AD برابر $a$ است. - چون مربع EB ضلعش برابر $a$ است و EB روی AD است، پس طول AE برابر $a$ است (چون EB مربع است و ضلع آن $a$ است). 5. محاسبه مساحت مثلث ABE: - قاعده مثلث را ضلع AE در نظر می‌گیریم که برابر $a$ است. - ارتفاع مثلث برابر طول عمود از نقطه B به AE است که برابر طول ضلع مربع ABCD یعنی $a$ است (چون B در بالای A و E است). 6. بنابراین مساحت مثلث ABE برابر است با: $$\text{مساحت} = \frac{1}{2} \times a \times a = \frac{a^2}{2}$$ پاسخ نهایی: مساحت مثلث ABE برابر $$\frac{a^2}{2}$$ است.