1. **بيان المشكلة:** لدينا دائرة نصف قطرها $q$، مع وجود مثلث خارجي يشمل نقطة $p$، ومتجهة عن الدائرة بخط مسماه $u$. الزاوية بين هذا الخط والوتر الدائري هي $30^{\circ}$. 2. **الهدف:** نريد حساب طول القوس المرتبط بالزاوية على الدائرة. 3. **استخدام صيغة طول القوس:** طول القوس $L$ يُحسب بالعلاقة $$L = r \times \theta,$$ حيث $r$ هو نصف القطر و$\theta$ الزاوية بالراديان. 4. **تحويل الوحدات:** الزاوية المعطاة بالدرجات $30^{\circ}$. نحو تحويلها للراديان: $$\theta = 30^{\circ} = \frac{30 \times \pi}{180} = \frac{\pi}{6}.$$ 5. **التعويض في الصيغة:** $$L = q \times \frac{\pi}{6} = \frac{q\pi}{6}.$$ 6. **النتيجة النهائية:** طول القوس المطلوب هو $$\boxed{\frac{q\pi}{6}}.$$