1. **Énoncé du problème :** On a les mesures orientées suivantes entre vecteurs : - $\text{mes}(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}) = -\pi$ - $\text{mes}(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}) = \frac{\pi}{5}$ Il faut déterminer : - $\text{mes}(-\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CA})$ - $\text{mes}(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})$ - $\text{mes}(6\overrightarrow{BA},5\overrightarrow{AC})$ - $\text{mes}\big[(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}) - (\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD})\big]$ --- 2. **Calcul de $\text{mes}(-\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CA})$ :** - On note que $\overrightarrow{CA} = -\overrightarrow{AC}$. - La mesure de l'angle orienté vérifie $\text{mes}(\vec{u}, -\vec{v}) = \text{mes}(\vec{u}, \vec{v}) \pm \pi$, mais on prend la mesure principale dans $]-\pi, \pi]$. - $\text{mes}(-\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CA}) = \text{mes}(-\overrightarrow{AB}, -\overrightarrow{AC})$. - Le changement de signe simultané des deux vecteurs ne change pas la mesure de l'angle, donc $$ \text{mes}(-\overrightarrow{AB}, -\overrightarrow{AC}) = \text{mes}(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = -\pi $$ --- 3. **Calcul de $\text{mes}(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})$ :** - Par la propriété des angles orientés : $$ \text{mes}(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}) = \text{mes}(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) + \text{mes}(\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}) $$ - En remplaçant par les valeurs données : $$ \text{mes}(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}) = -\pi + \frac{\pi}{5} = -\pi + 0{,}2\pi = -0{,}8\pi $$ - Cette mesure est dans $]-\pi, \pi]$, donc c'est la mesure principale. --- 4. **Calcul de $\text{mes}(6\overrightarrow{BA},5\overrightarrow{AC})$ :** - Les coefficients scalaires positifs ne changent pas la direction ni l'orientation. - Or $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$. $$ \text{mes}(6\overrightarrow{BA}, 5\overrightarrow{AC}) = \text{mes}(-\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) $$ - Par la propriété de l'angle orienté : $$ \text{mes}(-\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = \text{mes}(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) \pm \pi $$ - Sachant que $\text{mes}(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = -\pi$, donc $$ \text{mes}(-\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = -\pi + \pi = 0 $$ --- 5. **Calcul de $\text{mes}[(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) - (\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD})]$ :** - C'est la différence : $$ -\pi - \frac{\pi}{5} = -\pi - 0{,}2\pi = -1{,}2\pi $$ - Cette valeur n'est pas dans l'intervalle $]-\pi, \pi]$ pour la mesure principale. - On peut ajuster en ajoutant $2\pi$ pour rentrer dans l'intervalle : $$ -1{,}2\pi + 2\pi = 0{,}8\pi $$ --- **Réponses finales :** - $\text{mes}(-\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CA}) = -\pi$ - $\text{mes}(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}) = -0{,}8\pi$ - $\text{mes}(6\overrightarrow{BA}, 5\overrightarrow{AC}) = 0$ - $\text{mes}[(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) - (\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD})] = 0{,}8\pi$