1. Le problème demande de déterminer plusieurs mesures principales d'angles orientés entre différents vecteurs donnés. Données : - $\mathrm{mes}(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = \frac{\pi}{3}$ - $\mathrm{mes}(\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}) = \frac{3\pi}{4}$ 2. Calcul de $\mathrm{mes}(-\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CA})$ : - $-\overrightarrow{AB}$ est la direction opposée à $\overrightarrow{AB}$. - $\overrightarrow{CA} = -\overrightarrow{AC}$ puisque $\overrightarrow{CA}$ va de C à A. On utilise la propriété que pour tout vecteur $\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}$: $$\mathrm{mes}(-\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) = \mathrm{mes}(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) \pm \pi$$ Donc : $$\mathrm{mes}(-\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CA}) = \mathrm{mes}(\overrightarrow{AB}, -\overrightarrow{AC})$$ Et comme $\mathrm{mes}(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = \frac{\pi}{3}$, alors $$\mathrm{mes}(\overrightarrow{AB}, -\overrightarrow{AC}) = \mathrm{mes}(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) \pm \pi = \frac{\pi}{3} \pm \pi$$ La mesure principale d'un angle est toujours dans $]-\pi, \pi]$, donc $$\frac{\pi}{3} - \pi = -\frac{2\pi}{3}$$ qui est dans $]-\pi, \pi]$. Donc $$\mathrm{mes}(-\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CA}) = -\frac{2\pi}{3}$$ 3. Calcul de $\mathrm{mes}(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD})$ : Utilisation de la relation de l’angle orienté : $$\mathrm{mes}(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}) = \mathrm{mes}(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) + \mathrm{mes}(\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD})$$ $$= \frac{\pi}{3} + \frac{3\pi}{4} = \frac{4\pi}{12} + \frac{9\pi}{12} = \frac{13\pi}{12}$$ Comme $\frac{13\pi}{12} > \pi$, on soustrait $2\pi$ pour obtenir l'angle principal : $$\frac{13\pi}{12} - 2\pi = \frac{13\pi}{12} - \frac{24\pi}{12} = -\frac{11\pi}{12}$$ Donc $$\mathrm{mes}(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}) = -\frac{11\pi}{12}$$ 4. Calcul de $\mathrm{mes}(6\overrightarrow{BA}, 5\overrightarrow{AC})$ : Les coefficients scalaires positifs ne changent pas la direction, mais attention à $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$. Donc $$\mathrm{mes}(6\overrightarrow{BA}, 5\overrightarrow{AC}) = \mathrm{mes}(-\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})$$ On a déjà $\mathrm{mes}(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = \frac{\pi}{3}$, ainsi $$\mathrm{mes}(-\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = \frac{\pi}{3} \pm \pi$$ Pour la mesure principale, $$\frac{\pi}{3} - \pi = -\frac{2\pi}{3}$$ Donc $$\mathrm{mes}(6\overrightarrow{BA}, 5\overrightarrow{AC}) = -\frac{2\pi}{3}$$ 5. Calcul de $\mathrm{mes}\big[(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) - (\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD})\big]$ : C’est la différence des mesures : $$ \frac{\pi}{3} - \frac{3\pi}{4} = \frac{4\pi}{12} - \frac{9\pi}{12} = -\frac{5\pi}{12} $$ Cette valeur est déjà dans l’intervalle $]-\pi, \pi]$, donc $$\mathrm{mes} = -\frac{5\pi}{12}$$ Réponses finales : - $\mathrm{mes}(-\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CA}) = -\frac{2\pi}{3}$ - $\mathrm{mes}(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}) = -\frac{11\pi}{12}$ - $\mathrm{mes}(6\overrightarrow{BA}, 5\overrightarrow{AC}) = -\frac{2\pi}{3}$ - $\mathrm{mes}\big[(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) - (\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD})\big] = -\frac{5\pi}{12}$