1. **Énoncé du problème :** Nous avons un cercle de centre $O$ avec des points $A$, $B$, et $M$ sur le cercle. On considère l'angle inscrit $\angle AMB$ et l'angle au centre $\angle AOB$ interceptant le même arc $AB$. 2. **Formule et règles importantes :** L'angle au centre $\angle AOB$ est l'angle formé par deux rayons $OA$ et $OB$. L'angle inscrit $\angle AMB$ est l'angle formé par deux cordes $AM$ et $MB$ passant par un point $M$ sur le cercle. La propriété clé est : $$\angle AOB = 2 \times \angle AMB$$ Cela signifie que l'angle au centre est le double de l'angle inscrit interceptant le même arc. 3. **Travail intermédiaire :** - L'arc intercepté par ces deux angles est l'arc $AB$. - Si on mesure $\angle AOB$ et $\angle AMB$, on observe que $\angle AOB$ est toujours le double de $\angle AMB$. 4. **Conjecture :** - Si $\angle AOB = 50^\circ$ alors $\angle AMB = 25^\circ$. - Si $\angle AMB = 36^\circ$ alors $\angle AOB = 72^\circ$. 5. **Démonstration de la conjecture :** - Considérons le cercle $(C)$ de centre $O$. **1er cas :** a. $\angle OAM$ est un angle inscrit dans le triangle $OAM$ où $OA = OM$ (rayons du cercle), donc $\triangle OAM$ est isocèle et $\angle OAM = \angle OMA$. b. Dans le triangle $AOM$, la somme des angles est $180^\circ$, donc $$\angle AOM = 180^\circ - 2 \times \angle AMB$$ car $\angle AMB$ est égal à $\angle OMA$. c. En combinant ces relations, on conclut que $$\angle AOB = 2 \times \angle AMB$$ ce qui confirme la conjecture. **Réponse finale :** L'angle au centre $\angle AOB$ est toujours le double de l'angle inscrit $\angle AMB$ interceptant le même arc $AB$.