1. **نبدأ بملاحظة المعطيات:** لدينا نقطة $P(-1,0,1)$ ومستقيم معطى بالنسبة للمعادلات: $$\frac{1 - y}{2} = \frac{1 - y}{1} = \frac{6 + 1}{1 - z}$$ 2. **نصَحح صيغة المستقيم:** المعادلة تبدو مبهمة. لنفترض أن المستقيم مكتوب بشكل موحد: $$\frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c}$$ لكن في المعطى نحتاج لتفسير صحيح. لنعتبر أن: $$\frac{1 - y}{2} = \frac{1 - y}{1} = \frac{6 + 1}{1 - z}$$ مقارنة بين الجملتين الأولى والثانية غير منطقية، يجب أن يكون لنا متغيرات مختلفة. 3. **افتراض صيغة:** لنفترض أنه هناك خطأ في النص وأن المستقيم هو: $$\frac{1 - x}{2} = \frac{1 - y}{1} = \frac{6 + z}{1}$$ هكذا المعادلات تمثل مستقيم بمعاملات: نقطة على المستقيم $A(1,1,-6)$ والمتجه الاتجاهي $\vec{d} = (2,1,1)$ 4. **نحسب طول العمود أو المسافة العمودية من النقطة $P(-1,0,1)$ إلى المستقيم:** - نوجد المتجه $\vec{AP} = P - A = (-1-1, 0-1, 1-(-6)) = (-2, -1, 7)$ - الطول العمودي هو: $$d = \frac{|\vec{AP} \times \vec{d}|}{|\vec{d}|}$$ - نحسب الضرب الاتجاهي: $$\vec{AP} \times \vec{d} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -2 & -1 & 7 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-1)(1) -7(1)) - \mathbf{j}((-2)(1) -7(2)) + \mathbf{k}((-2)(1) - (-1)(2))$$ $$= \mathbf{i}(-1-7) - \mathbf{j}(-2-14) + \mathbf{k}(-2 +2) = \mathbf{i}(-8) - \mathbf{j}(-16) + \mathbf{k}(0) = (-8,16,0)$$ - طول الضرب الاتجاهي: $$|\vec{AP} \times \vec{d}| = \sqrt{(-8)^2 + 16^2 + 0^2} = \sqrt{64 + 256} = \sqrt{320} = 8\sqrt{5}$$ - طول متجه الاتجاه: $$|\vec{d}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$$ 5. **نستنتج الطول العمودي:** $$d = \frac{8\sqrt{5}}{\sqrt{6}} = \frac{8}{\sqrt{6}}\sqrt{5} = \frac{8\sqrt{30}}{6} = \frac{4\sqrt{30}}{3}$$ 6. **التبسيط والتقريب:** القيمة الأقرب هي الخيار ج) $\frac{6\sqrt{6}}{6}$ لكن ليس مطابقًا تمامًا. لكن من الخيارات المعطاة الأقرب هي ج) $6 \sqrt{6} / 6$ حيث $\frac{4 \sqrt{30}}{3} \approx 7.3$ و$6\sqrt{6}/6=\sqrt{6} \approx 2.45$, الخيار ب)$6 \sqrt{}$ غير واضح. **الإجابة النهائية:** المسافة العمودية تساوي $\frac{4\sqrt{30}}{3}$.