1. مسئله را بیان می‌کنیم: الف) طول میانه AM در مثلث با رئوس A(4,2)، B(-3,2) و C(-1,1) را بیابید. ب) طول ارتفاع AH را بیابید. 2. طول میانه AM: میانه از راس A به وسط ضلع مقابل یعنی نقطه M می‌رود. نقطه M وسط BC است، پس مختصات M برابر است با $$M=\left(\frac{-3+(-1)}{2},\frac{2+1}{2}\right)=\left(-2,\frac{3}{2}\right)$$ 3. طول میانه AM برابر فاصله بین نقاط A و M است: $$AM=\sqrt{(4-(-2))^2+(2-\frac{3}{2})^2}=\sqrt{6^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}=\sqrt{36+\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{145}{4}}=\frac{\sqrt{145}}{2}$$ 4. طول ارتفاع AH: ارتفاع از راس A بر ضلع BC عمود است. معادله خط BC: شیب BC برابر است با $$m=\frac{1-2}{-1-(-3)}=\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}$$ معادله خط BC: $$y-2=-\frac{1}{2}(x+3) \Rightarrow y=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$$ 5. شیب خط ارتفاع AH عمود بر BC است، پس شیب AH برابر است با $$m_{AH}=2$$ معادله خط AH از نقطه A(4,2): $$y-2=2(x-4) \Rightarrow y=2x-6$$ 6. نقطه H محل برخورد خطوط AH و BC است: حل دستگاه معادلات: $$\begin{cases} y=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2} \\ y=2x-6 \end{cases}$$ با مساوی قرار دادن: $$2x-6=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2} \Rightarrow 2x+\frac{1}{2}x=6+\frac{1}{2} \Rightarrow \frac{5}{2}x=\frac{13}{2} \Rightarrow x=\frac{13}{5}=2.6$$ و $$y=2(2.6)-6=5.2-6=-0.8$$ پس $$H=(2.6,-0.8)$$ 7. طول ارتفاع AH برابر فاصله بین A و H است: $$AH=\sqrt{(4-2.6)^2+(2-(-0.8))^2}=\sqrt{1.4^2+2.8^2}=\sqrt{1.96+7.84}=\sqrt{9.8}$$ 8. اثبات تشابه مثلث‌های ADE و CDB: زاویه‌های Â و Ĉ هر دو ۹۰ درجه هستند. با توجه به داده‌ها: $$BD=5, CB=3, ED=4$$ با توجه به تشابه زاویه‌ها و نسبت اضلاع: $$\frac{ED}{CB}=\frac{4}{3}$$ و $$\frac{AD}{DB}=?$$ اگر نسبت اضلاع برابر باشد، مثلث‌ها متشابه‌اند. 9. طول AD را بیابید: با توجه به تشابه مثلث‌ها و نسبت اضلاع: $$\frac{AD}{DB}=\frac{ED}{CB}=\frac{4}{3}$$ پس: $$AD=\frac{4}{3} \times DB=\frac{4}{3} \times 5=\frac{20}{3}$$ 10. معادله درجه دومی که ریشه‌های آن $$3-\sqrt{3}$$ و $$3+\sqrt{3}$$ باشد: فرمول معادله درجه دوم با ریشه‌های $$r_1$$ و $$r_2$$: $$x^2-(r_1+r_2)x + r_1 r_2=0$$ محاسبه مجموع و حاصل‌ضرب ریشه‌ها: $$r_1+r_2=3-\sqrt{3}+3+\sqrt{3}=6$$ $$r_1 r_2=(3-\sqrt{3})(3+\sqrt{3})=3^2-(\sqrt{3})^2=9-3=6$$ معادله: $$x^2 - 6x + 6=0$$