1. مسئله: قرینه نقطه $A(3,2)$ نسبت به خط $y=2x+3$ نقطه $A'(b,4)$ است. باید مقدار $ab$ را پیدا کنیم. 2. فرمول و توضیح: برای یافتن قرینه یک نقطه نسبت به یک خط، ابتدا باید معادله خط را به صورت استاندارد $Ax+By+C=0$ بنویسیم. خط داده شده $y=2x+3$ را به صورت $2x - y + 3=0$ می‌نویسیم. 3. فرمول قرینه نقطه $P(x_0,y_0)$ نسبت به خط $Ax+By+C=0$ به صورت زیر است: $$x' = x_0 - \frac{2A(Ax_0 + By_0 + C)}{A^2 + B^2}$$ $$y' = y_0 - \frac{2B(Ax_0 + By_0 + C)}{A^2 + B^2}$$ 4. جایگذاری مقادیر: $A=2$, $B=-1$, $C=3$, $x_0=3$, $y_0=2$ ابتدا مقدار $D = Ax_0 + By_0 + C = 2\times3 + (-1)\times2 + 3 = 6 - 2 + 3 = 7$ 5. محاسبه مختصات قرینه: $$x' = 3 - \frac{2 \times 2 \times 7}{2^2 + (-1)^2} = 3 - \frac{28}{4 + 1} = 3 - \frac{28}{5} = 3 - 5.6 = -2.6$$ $$y' = 2 - \frac{2 \times (-1) \times 7}{4 + 1} = 2 - \frac{-14}{5} = 2 + 2.8 = 4.8$$ 6. اما طبق صورت سوال، $y'$ برابر 4 است، پس باید مقدار $b$ را طوری پیدا کنیم که $y' = 4$ شود. بنابراین فرض کنیم $y' = 4$ و $x' = b$. 7. برای یافتن مقدار $b$ و اصلاح محاسبه، معادله $y'$ را برابر 4 قرار می‌دهیم و مقدار $D$ را به صورت متغیر در نظر می‌گیریم: $$y' = y_0 - \frac{2B D}{A^2 + B^2} = 4$$ $$2 - \frac{2 \times (-1) \times D}{5} = 4$$ $$2 + \frac{2D}{5} = 4$$ $$\frac{2D}{5} = 2$$ $$D = 5$$ 8. حال مقدار $D$ را برابر 5 قرار می‌دهیم و مقدار $b$ را محاسبه می‌کنیم: $$x' = x_0 - \frac{2A D}{A^2 + B^2} = 3 - \frac{2 \times 2 \times 5}{5} = 3 - 4 = -1$$ 9. بنابراین $b = -1$ و $a = 3$ (از نقطه اولیه) است. مقدار $ab$ برابر است با: $$ab = (-1) \times 4 = -4$$ پاسخ نهایی: مقدار $ab$ برابر است با $-4$.