زاوية بين مستقيمين
1. نُعطى متجهين اتجاهيين للمستقيمين:
$$\vec{u} = \left(\frac{13}{12}, 0, 0\right), \quad \vec{v} = \left(\frac{7}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{4}{3}\right)$$
2. لحساب قياس الزاوية بين المستقيمين، نستخدم العلاقة بين الجيب التمام للزاوية والضرب الداخلي للمتجهين:
$$\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \|\vec{v}\|}$$
3. نحسب الضرب الداخلي:
$$\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{13}{12} \times \frac{7}{3} + 0 \times \left(-\frac{2}{3}\right) + 0 \times \frac{4}{3} = \frac{91}{36}$$
4. نحسب طول كل متجه:
$$\|\vec{u}\| = \sqrt{\left(\frac{13}{12}\right)^2 + 0^2 + 0^2} = \frac{13}{12}$$
$$\|\vec{v}\| = \sqrt{\left(\frac{7}{3}\right)^2 + \left(-\frac{2}{3}\right)^2 + \left(\frac{4}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{49}{9} + \frac{4}{9} + \frac{16}{9}} = \sqrt{\frac{69}{9}} = \frac{\sqrt{69}}{3}$$
5. نعوض في صيغة جيب التمام:
$$\cos \theta = \frac{\frac{91}{36}}{\frac{13}{12} \times \frac{\sqrt{69}}{3}} = \frac{\frac{91}{36}}{\frac{13 \sqrt{69}}{36}} = \frac{91}{36} \times \frac{36}{13 \sqrt{69}} = \frac{91}{13 \sqrt{69}}$$
6. نبسط التعبير:
$$\cos \theta = \frac{91}{13 \sqrt{69}}$$
7. نضرب البسط والمقام في \(\sqrt{69}\) للتخلص من الجذر في المقام:
$$\cos \theta = \frac{91 \sqrt{69}}{13 \times 69} = \frac{91 \sqrt{69}}{897}$$
8. نلاحظ أن الخيارات المعطاة هي قيم عددية بدون الجذر، لذا نعيد النظر في الحسابات السابقة ونلاحظ أن المتجه الأول ليس متجه وحدة، لذلك يجب تحويله إلى متجه وحدة أولاً.
9. متجه الوحدة للمتجه الأول:
$$\hat{u} = \frac{1}{\|\vec{u}\|} \vec{u} = \frac{12}{13} \left(\frac{13}{12}, 0, 0\right) = (1, 0, 0)$$
10. متجه الوحدة للمتجه الثاني:
$$\hat{v} = \frac{1}{\|\vec{v}\|} \vec{v} = \frac{3}{\sqrt{69}} \left(\frac{7}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{4}{3}\right) = \left(\frac{7}{\sqrt{69}}, -\frac{2}{\sqrt{69}}, \frac{4}{\sqrt{69}}\right)$$
11. نحسب الضرب الداخلي بين متجهي الوحدة:
$$\hat{u} \cdot \hat{v} = 1 \times \frac{7}{\sqrt{69}} + 0 + 0 = \frac{7}{\sqrt{69}}$$
12. نضرب البسط والمقام في \(\sqrt{69}\) للتخلص من الجذر:
$$\cos \theta = \frac{7}{\sqrt{69}} = \frac{7 \sqrt{69}}{69}$$
13. نلاحظ أن \(\sqrt{69} \approx 8.3066\) لذا:
$$\cos \theta \approx \frac{7 \times 8.3066}{69} = \frac{58.146}{69} \approx 0.842$$
14. نتحقق من الخيارات المعطاة:
- الخيار (أ): \(\cos^{-1} \left(\frac{11}{39}\right) \approx \cos^{-1}(0.282)\)
- الخيار (ب): \(\cos^{-1} \left(\frac{22}{39}\right) \approx \cos^{-1}(0.564)\)
- الخيار (ج): \(\cos^{-1} \left(\frac{4}{39}\right) \approx \cos^{-1}(0.103)\)
- الخيار (د): \(\cos^{-1} \left(\frac{44}{39}\right)\) غير ممكن لأن القيمة أكبر من 1
15. القيمة الأقرب هي \(\frac{22}{39} \approx 0.564\) ولكننا حسبنا \(0.842\) لذا نعيد النظر في الحسابات.
16. نعيد حساب الضرب الداخلي بين المتجهين الأصليين:
$$\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{13}{12} \times \frac{7}{3} = \frac{91}{36}$$
17. أطوال المتجهين:
$$\|\vec{u}\| = \frac{13}{12}$$
$$\|\vec{v}\| = \sqrt{\left(\frac{7}{3}\right)^2 + \left(-\frac{2}{3}\right)^2 + \left(\frac{4}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{49}{9} + \frac{4}{9} + \frac{16}{9}} = \sqrt{\frac{69}{9}} = \frac{\sqrt{69}}{3}$$
18. إذن:
$$\cos \theta = \frac{\frac{91}{36}}{\frac{13}{12} \times \frac{\sqrt{69}}{3}} = \frac{91}{36} \times \frac{36}{13 \sqrt{69}} = \frac{91}{13 \sqrt{69}}$$
19. نضرب البسط والمقام في \(\sqrt{69}\):
$$\cos \theta = \frac{91 \sqrt{69}}{13 \times 69} = \frac{91 \sqrt{69}}{897}$$
20. نكتب \(\sqrt{69} \approx 8.3066\):
$$\cos \theta \approx \frac{91 \times 8.3066}{897} = \frac{755.9}{897} \approx 0.842$$
21. نلاحظ أن \(\frac{22}{39} \approx 0.564\) و \(\frac{44}{39} > 1\) غير ممكن، و \(\frac{11}{39} \approx 0.282\) و \(\frac{4}{39} \approx 0.103\) أقل بكثير.
22. إذن لا تتطابق القيمة المحسوبة مع أي خيار، لكن إذا قسمنا \(91\) و \(897\) على 13:
$$\frac{91}{897} = \frac{7}{69}$$
23. إذن:
$$\cos \theta = \frac{7 \sqrt{69}}{69}$$
24. نعيد كتابة \(\sqrt{69} = \sqrt{3^2 \times 23} = 3 \sqrt{23}\):
$$\cos \theta = \frac{7 \times 3 \sqrt{23}}{69} = \frac{21 \sqrt{23}}{69} = \frac{7 \sqrt{23}}{23}$$
25. بما أن الخيارات كلها أعداد كسرية بدون جذور، نختار الخيار الأقرب وهو (ب) \(\cos^{-1} \left(\frac{22}{39}\right)\) كونه الأقرب من حيث القيمة.
**الجواب النهائي:** الخيار (ب) \(\cos^{-1} \left(\frac{22}{39}\right)\)