1. نبدأ ببيان المشكلة: لدينا متوازي سطوح أ ب ج، مع متجهات متجاورة م→× = ٧ س – ص + ٤ ج، وجيوب تمام اتجاه ب ك هي ( ١/٧، ٠، ٠) و ( ١/٧، ١/٧، ٠). المطلوب هو إيجاد حجم متوازي السطوح إذا كان طول || أ ب || = ٣\sqrt{2}. 2. حجم متوازي السطوح يُحسب باستخدام القيمة المطلقة للجداء الاتجاهي لمتجهين متجاورين مضروبًا في طول المتجه الثالث، أي: $$\text{الحجم} = |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|$$ 3. من المعطيات، الجيوب تمام (sin) لاتجاه ب ك هي ( ١/٧، ٠، ٠) و ( ١/٧، ١/٧، ٠)، مما يشير إلى أن الجداء الاتجاهي لمتجهات أ و ب هو: $$\vec{a} \times \vec{b} = 7\vec{i} - \vec{j} + 4\vec{k}$$ 4. طول هذا الجداء الاتجاهي هو: $$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{7^2 + (-1)^2 + 4^2} = \sqrt{49 + 1 + 16} = \sqrt{66}$$ 5. طول || أ ب || = $3\sqrt{2}$، وهو طول أحد المتجهات. 6. حجم متوازي السطوح يساوي: $$\text{الحجم} = |\vec{a} \times \vec{b}| \times ||\vec{c}||$$ لكن بما أن لدينا فقط طول || أ ب ||، ونفترض أن المتجه الثالث عمودي على المتجهين الآخرين، فإن حجم متوازي السطوح هو: $$\text{الحجم} = |\vec{a} \times \vec{b}| \times ||\vec{c}|| = 3\sqrt{2} \times \sqrt{66} = 3 \times \sqrt{132} = 3 \times 2\sqrt{33} = 6\sqrt{33}$$ 7. إذن، حجم متوازي السطوح هو $6\sqrt{33}$. الاختيار الأقرب هو د) 8، لكن القيمة الدقيقة هي $6\sqrt{33}$.