1. نبدأ ببيان المسألة: لدينا متوازي سطوح بأحرف متجاورة م، ب، ج، حيث \( \vec{م} \times \vec{ج} = 2\vec{س} - \vec{ص} + \vec{ع} \) وجيوب تمام اتجاه ب هي \( (\frac{1}{7}, 0, 0) \) و \( (0, \frac{1}{7}, 0) \). المطلوب هو إيجاد حجم متوازي السطوح إذا كان \( ||\vec{أب}|| = 27 \). 2. حجم متوازي السطوح يُحسب بالصيغة: $$\text{الحجم} = |\vec{م} \cdot (\vec{ب} \times \vec{ج})|$$ 3. من المعطيات، \( \vec{م} \times \vec{ج} = 2\vec{س} - \vec{ص} + \vec{ع} \) وهي تمثل متجه عمودي على المستوي الذي يحتوي \( \vec{م} \) و \( \vec{ج} \). 4. الجيوب التامة (reciprocal vectors) لـ \( \vec{ب} \) هي: $$\vec{b}^* = (\frac{1}{7}, 0, 0), \quad \vec{b}^{**} = (0, \frac{1}{7}, 0)$$ وهذا يشير إلى أن طول \( \vec{ب} \) هو 7 لأن الجيوب التامة هي متجهات الوحدة في الاتجاهات المعاكسة. 5. بما أن \( ||\vec{أب}|| = 27 \) و \( \vec{ب} \) مرتبط بالجيوب التامة، يمكننا استخدام العلاقة بين الجيوب التامة وطول المتجهات. 6. حجم متوازي السطوح يساوي: $$\text{الحجم} = ||\vec{م}|| \times ||\vec{ج}|| \times ||\vec{ب}|| \times |\sin(\theta)|$$ حيث \( \theta \) هو الزاوية بين \( \vec{م} \) و \( \vec{ج} \). 7. من المعطيات، \( ||\vec{ب}|| = 7 \) و \( ||\vec{أب}|| = 27 \) مما يعني أن طول \( \vec{م} \) و \( \vec{ج} \) مرتبطان بالمتجهات \( \vec{س}, \vec{ص}, \vec{ع} \). 8. باستخدام المعطيات، نحسب الحجم: $$\text{الحجم} = 27 \times 7 = 189$$ 9. إذن، حجم متوازي السطوح هو: $$\boxed{189}$$