1. مسئله: محیط و مساحت مثلث متساوی الاضلاع برابرند و مساحت 30 است. ارتفاع مثلث را بیابید. 2. فرمول مساحت مثلث متساوی الاضلاع با ضلع $a$: $$\text{مساحت} = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$$ 3. فرمول محیط مثلث متساوی الاضلاع: $$\text{محیط} = 3a$$ 4. طبق مسئله، مقدار عددی محیط و مساحت برابرند: $$3a = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$$ 5. معادله را ساده می‌کنیم: $$3a = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \Rightarrow 3 = \frac{\sqrt{3}}{4}a \Rightarrow a = \frac{3 \times 4}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}$$ 6. حال مساحت را با $a=4\sqrt{3}$ بررسی می‌کنیم: $$\text{مساحت} = \frac{\sqrt{3}}{4} (4\sqrt{3})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 16 \times 3 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 48 = 12\sqrt{3}$$ 7. اما طبق داده مساحت 30 است، پس باید مقدار $a$ را از مساحت داده شده بیابیم: $$30 = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \Rightarrow a^2 = \frac{30 \times 4}{\sqrt{3}} = \frac{120}{\sqrt{3}} = 40\sqrt{3}$$ 8. بنابراین: $$a = \sqrt{40\sqrt{3}}$$ 9. ارتفاع مثلث متساوی الاضلاع: $$h = \frac{\sqrt{3}}{2}a$$ 10. پس ارتفاع: $$h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \sqrt{40\sqrt{3}}$$ 11. مقدار نهایی ارتفاع را می‌توان به صورت عددی یا به شکل رادیکالی نگه داشت. نتیجه: ارتفاع مثلث متساوی الاضلاع با مساحت 30 برابر است با $$h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \sqrt{40\sqrt{3}}$$