1. Задача: Знайти об'єм паралелепіпеда, заданого точками $A(-2;5;3)$, $B(8;7;3)$, $C(-9;1;4)$, $A_1(-5;-1;5)$. 2. Об'єм паралелепіпеда можна знайти як абсолютне значення скалярного потрійного добутку векторів, що виходять з однієї вершини. Візьмемо вершину $A$ і вектори $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AA_1}$. 3. Знайдемо координати векторів: $$\overrightarrow{AB} = B - A = (8 - (-2), 7 - 5, 3 - 3) = (10, 2, 0)$$ $$\overrightarrow{AC} = C - A = (-9 - (-2), 1 - 5, 4 - 3) = (-7, -4, 1)$$ $$\overrightarrow{AA_1} = A_1 - A = (-5 - (-2), -1 - 5, 5 - 3) = (-3, -6, 2)$$ 4. Обчислимо векторний добуток $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$: $$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 10 & 2 & 0 \\ -7 & -4 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(2 \cdot 1 - 0 \cdot (-4)) - \mathbf{j}(10 \cdot 1 - 0 \cdot (-7)) + \mathbf{k}(10 \cdot (-4) - 2 \cdot (-7))$$ $$= \mathbf{i}(2) - \mathbf{j}(10) + \mathbf{k}(-40 + 14) = (2, -10, -26)$$ 5. Обчислимо скалярний добуток $ (\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}) \cdot \overrightarrow{AA_1}$: $$ (2, -10, -26) \cdot (-3, -6, 2) = 2 \cdot (-3) + (-10) \cdot (-6) + (-26) \cdot 2 = -6 + 60 - 52 = 2$$ 6. Об'єм паралелепіпеда дорівнює абсолютному значенню цього скалярного добутку: $$V = |2| = 2$$ Отже, об'єм паралелепіпеда дорівнює 2.