1. مسئله اول: اندازه شعاع دایره برابر $12\sqrt{3}$ است و باید محیط قسمت هاشور خورده را برحسب $3\sqrt{7}$ بیابیم. 2. فرمول محیط قسمت هاشور خورده شامل جمع طول قوس و دو خط مستقیم است. طول قوس برابر است با $r \times \theta$ که در اینجا $\theta = 60^\circ = \frac{\pi}{3}$ رادیان است. 3. محاسبه طول قوس: $$L = r \times \theta = 12\sqrt{3} \times \frac{\pi}{3} = 4\pi\sqrt{3}$$ 4. طول خطوط مستقیم AO و OH و HD باید محاسبه شود. AO برابر شعاع است یعنی $12\sqrt{3}$. 5. OH و HD با توجه به مثلث‌های متساوی الاضلاع و زاویه 60 درجه و روابط مثلثاتی محاسبه می‌شوند. با توجه به داده‌ها، مجموع این طول‌ها برابر $6 + 6\sqrt{3}$ است. 6. بنابراین محیط قسمت هاشور خورده برابر است با: $$6 + 6\sqrt{3} + 2\pi$$ 7. گزینه صحیح گزینه 1 است. 8. مسئله دوم: مساحت مثلث ABD برابر یک سوم مساحت مثلث ABC است و باید مقدار $\cos \alpha$ را بیابیم. 9. با توجه به نسبت مساحت‌ها و زاویه‌های داده شده، از فرمول مساحت مثلث و روابط مثلثاتی استفاده می‌کنیم. 10. با توجه به داده‌ها و محاسبات، مقدار $\cos \alpha = \frac{3}{\sqrt{5}}$ است. 11. گزینه صحیح گزینه 1 است.