1. **Bài 4:** Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $2$, $SA$ vuông góc với mặt đáy và $SA=3$. Gọi hệ trục tọa độ $Oxyz$ sao cho $O$ trùng với $A$, $B$ trên $Ox$, $D$ trên $Oy$, $S$ trên $Oz$. 2. Xác định tọa độ các điểm: - $A=(0,0,0)$ - $B=(2,0,0)$ (vì cạnh đáy là 2 trên trục $Ox$) - $D=(0,2,0)$ - $S=(0,0,3)$ (do $SA$ vuông góc mặt đáy và $SA=3$) - $C$ là đối diện của $A$ trong hình vuông nên $C=(2,2,0)$ 3. Tính tọa độ điểm $M$ trung điểm của đoạn $SC$: $$M = \left(\frac{0+2}{2}, \frac{0+2}{2}, \frac{3+0}{2}\right) = (1, 1, 1.5)$$ 4. Tung độ (toạ độ $z$) của $M$ là $1.5$. 5. **Bài 5:** Diện tích một trang sách là $600\,cm^2$. Căn lề trên và dưới là $3\,cm$, căn lề trái và phải là $2\,cm$. Gọi chiều dài trang giấy là $x$, chiều rộng là $y$, có: $$xy = 600$$ 6. Kích thước phần chữ in: - Chiều dài chữ in: $x - 2 - 2 = x - 4$ - Chiều rộng chữ in: $y - 3 - 3 = y - 6$ 7. Diện tích phần chữ in là: $$A = (x - 4)(y - 6)$$ 8. Thay $y = \frac{600}{x}$ vào diện tích: $$A = (x - 4)\left(\frac{600}{x} - 6\right) = \frac{600(x-4)}{x} - 6(x-4) = \frac{600x - 2400}{x} - 6x + 24 = 600 - \frac{2400}{x} - 6x + 24 = 624 - 6x - \frac{2400}{x}$$ 9. Tìm $x$ để $A$ lớn nhất bằng đạo hàm: $$\frac{dA}{dx} = -6 + \frac{2400}{x^2} = 0 \Rightarrow \frac{2400}{x^2} = 6 \Rightarrow x^2 = \frac{2400}{6} = 400 \Rightarrow x = 20$$ 10. Với $x=20$, $$y = \frac{600}{20} = 30$$ 11. Kết luận: Chiều dài trang giấy để diện tích chữ in lớn nhất là $20\,cm$. 12. **Bài 6:** Hàm $y = f(x)$ là hàm bậc ba, đồ thị đi qua các điểm $O$, $A$, $B$ trên trục $x$. 13. Khoảng cách $OA=2$ km, $AB=1$ km, độ sâu hồ là 158 m ($0.158$ km). 14. Giả sử các nghiệm là $x=0$, $x=2$, $x=3$ (tính theo kích thước cho phù hợp $O$, $A$, $B$), và đồ thị là: $$y = a x(x-2)(x-3)$$ 15. Để hồ sâu nhất là 0.158 km (tương ứng giá trị âm nhỏ nhất), ta tìm $a$: Giá trị cực tiểu ở khoảng $[2,3]$ là tại điểm giữa $x=\frac{2+3}{2}=2.5$ (giả sử), thay $x=2.5$: $$y(2.5) = a \times 2.5 \times (2.5-2) \times (2.5-3) = a \times 2.5 \times 0.5 \times (-0.5) = -0.625 a$$ 16. Do độ sâu hồ là $0.158$ km (âm), nên: $$|y(2.5)| = 0.158 \Rightarrow 0.625 a = 0.158 \Rightarrow a = \frac{0.158}{0.625} = 0.2528$$ 17. Độ cao đồi là giá trị cực đại trong khoảng $[0,2]$. Đỉnh cực đại đơn giản quanh $x=1$: $$y(1) = a \times 1 \times (1-2) \times (1-3) = a \times 1 \times (-1) \times (-2) = 2a = 2 \times 0.2528 = 0.5056~(km)$$ 18. Quy đổi sang mét: $$0.5056\,km = 505.6\,m$$ Làm tròn đến hàng đơn vị là $506\,m$. 19. **Kết luận:** Độ cao của quả đồi là $506$ mét.