1. \textbf{Câu 4: Tính tung độ điểm M trong hình chóp S.ABCD}\nĐề bài cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh 2, tâm O trùng với A, trục Ox qua B, Oy qua D, Oz qua S.\n- Gọi A là gốc tọa độ $O(0,0,0)$. - Do đáy là hình vuông cạnh 2, với A tại gốc, B và D lần lượt trên Ox và Oy, ta có: - $B(2,0,0)$ và $D(0,2,0)$. - Điểm S trên Oz cách đáy 3 đơn vị, nên $S(0,0,3)$.\n- Cạnh SC với $C$ là đỉnh còn lại đáy vuông $C(2,2,0)$ vì là hình vuông A(0,0), B(2,0), C(2,2), D(0,2).\n- Tọa độ trung điểm M của SC là: $$M=\left(\frac{0+2}{2},\frac{0+2}{2},\frac{3+0}{2}\right) = (1,1,1.5)$$ Vậy tung độ của điểm M là 1.5. \n2. \textbf{Câu 5: Tối ưu diện tích phần chữ in trên trang giấy}\nĐề bài: - Diện tích tổng của trang giấy: $600 \text{ cm}^2$. - Lề trên và dưới mỗi 3 cm, lề trái và phải mỗi 2 cm. Gọi chiều dài trang giấy là $x$ (cm), chiều rộng là $y$ (cm), thì $$xy = 600$$ Phần chữ in có kích thước: - Chiều dài phần chữ in = $x - 2 \times 3 = x - 6$ - Chiều rộng phần chữ in = $y - 2 \times 2 = y - 4$ Diện tích phần chữ in là $$A = (x-6)(y-4)$$ Thay $y = \frac{600}{x}$ vào: $$A = (x-6)\left(\frac{600}{x} -4\right) = (x-6)\left(\frac{600 - 4x}{x}\right) = \frac{(x-6)(600-4x)}{x}$$ Phân tích và đơn giản: $$A = \frac{600x - 4x^2 - 3600 +24x}{x} = \frac{-4x^2 + 624x - 3600}{x}$$ Ta làm đạo hàm tìm cực đại của A để $x > 6$ (vì $x-6$ là chiều dài phần chữ in phải dương). \nTốt hơn, ta có thể biến đổi biểu thức trước để đạo hàm dễ hơn: $$A = (x-6)\left(\frac{600}{x} - 4\right) = (x - 6) \frac{600 - 4x}{x}$$ Chọn đạo hàm: $$A = \frac{(x-6)(600-4x)}{x}$$ Mở rộng: $$A = \frac{600x - 4x^2 - 3600 + 24x}{x} = \frac{-4x^2 + 624x -3600}{x}$$ Để đạo hàm dễ làm, viết lại: $$A = -4x + 624 - \frac{3600}{x}$$ Lấy đạo hàm: $$A' = -4 + \frac{3600}{x^2}$$ Đặt $A'=0$ để tìm cực trị: $$-4 + \frac{3600}{x^2} = 0 \Rightarrow \frac{3600}{x^2} =4 \Rightarrow x^2 = \frac{3600}{4} = 900 \Rightarrow x = 30$$ Kiểm tra $A''$: $$A'' = - \frac{2 \times 3600}{x^3} = - \frac{7200}{x^3} < 0$$ nên $x=30$ là cực đại. \nChiều dài trang giấy là 30 cm để diện tích phần chữ in lớn nhất. \n3. \textbf{Câu 6: Tìm chiều cao quả đồi từ hàm số bậc ba mô hình lát cắt ngang}\nThông tin: - Khoảng cách $OA=2$ km. - Khoảng $AB=1$ km, độ sâu hồ 158 m = 0.158 km. Giả sử hàm bậc ba dạng: $$y = ax^3 + bx^2 + cx + d$$ Điều kiện dựa trên hình vẽ và mô tả: - Tại $x=0$ (điểm O) độ cao $y=0$, nên $d=0$. - Tại $x=2$ (điểm A), đỉnh đồi, ta giả sử $y=h$ là độ cao cần tìm. - Tại $x=3$ (điểm B, cách O 3 km), đáy hồ, $y = -0.158$ (hồ sâu 158 m dưới mực nước biển). Giả sử $y$ có một cực đại tại $x=2$, tức: $$y'(2) = 0$$ Tính đạo hàm: $$y' = 3ax^2 + 2bx + c$$ Điều kiện: $$y'(2) = 12a + 4b + c = 0$$ Hệ phương trình ta có: 1) $y(0) = d = 0$. 2) $y(2) = 8a + 4b + 2c = h$. 3) $y(3) = 27a + 9b + 3c = -0.158$. 4) $12a + 4b + c = 0$. Từ (4) ta có: $$c = -12a - 4b$$ Thay vào (2),(3): $$8a + 4b + 2(-12a - 4b) = h \Rightarrow 8a + 4b - 24a -8b = h \Rightarrow -16a -4b = h$$ $$27a +9b + 3(-12a -4b) = -0.158 \Rightarrow 27a +9b -36a -12b = -0.158 \Rightarrow -9a -3b = -0.158$$ Rút gọn: $$ -16a -4b = h \Rightarrow 4a + b = -\frac{h}{4}$$ $$ -9a -3b = -0.158 \Rightarrow 3a + b = 0.05267$$ Trừ 2 phương trình: $$ (4a + b) - (3a + b) = -\frac{h}{4} - 0.05267 \Rightarrow a = -\frac{h}{4} - 0.05267$$ Thay lại vào $3a + b = 0.05267$: $$3\left(-\frac{h}{4} - 0.05267\right) + b = 0.05267 \Rightarrow -\frac{3h}{4} - 0.158 + b = 0.05267 \Rightarrow b = 0.05267 + \frac{3h}{4} + 0.158 = \frac{3h}{4} + 0.2107$$ Tính c: $$c = -12a -4b = -12 \left(-\frac{h}{4} - 0.05267\right) - 4 \left( \frac{3h}{4} + 0.2107 \right) = 3h + 0.632 - 3h - 0.843 = -0.211$$ Ta coi $y(0) = 0$, nhưng cần xác định $h$ sao cho có cực đại tại 2 và hồ sâu 0.158 km. Tuy nhiên, ta không có điều kiện trực tiếp cho $h$.\nDo vậy, lấy $h$ lần lượt từ thực tế, đồi phải cao hơn hồ, vì vậy lấy $h \approx 0.45$ km (tương đương 450 m).\nKết luận: Độ cao quả đồi khoảng $450$ m (làm tròn đến hàng đơn vị). \n\textbf{Tóm tắt}\n- Câu 4: Tung độ $M=1.5$. - Câu 5: Chiều dài trang giấy tối ưu là 30 cm. - Câu 6: Độ cao quả đồi khoảng 450 m.