1. **حل المعادلات المعطاة:** أ) المعادلة $x^2 - y^2 + 2x + 4y - 15 = 0$ نرتب الحدود ونكمل المربع لكل من $x$ و $y$: $$x^2 + 2x - (y^2 - 4y) = 15$$ نكمل المربع: $$x^2 + 2x + 1 - (y^2 - 4y + 4) = 15 + 1 - 4$$ $$ (x+1)^2 - (y-2)^2 = 12$$ هذه معادلة قطع ناقص (hyperbola) مركزه $(-1, 2)$. ج) المعادلة $x^2 + y^2 = -36$ مجموع مربعات عددين لا يمكن أن يكون سالبًا، إذن لا توجد حلول حقيقية لهذه المعادلة. 2. **حساب محيط دائرة نصف قطرها 4 سم بدلالة $\pi$:** محيط الدائرة = $2 \pi r = 2 \pi \times 4 = 8 \pi$ سم. 3. **إيجاد الزوايا المجهولة في الدائرة اليسرى:** - الزاوية $\angle B = 25^\circ$. - الزاوية $\angle BDC = 80^\circ$. - الزاوية $\angle ADB = x$. - الزاوية $\angle BCD = y$. في الدائرة، الزوايا المحيطية التي تشترك في نفس القوس متساوية. الزاوية المركزية تقابل ضعف الزاوية المحيطية على نفس القوس. من المعطيات: $$x + 25 = 80 \Rightarrow x = 55^\circ$$ وبما أن $y$ و $25^\circ$ هما زوايا محيطية على نفس القوس، فإن: $$y = 25^\circ$$ 4. **إيجاد الزوايا المجهولة في الدائرة اليمنى:** - $\angle A = 30^\circ$ - $\angle ACB = y$ - $\angle ABO = z$ - $\angle AOC = x$ بما أن $O$ مركز الدائرة، فإن $\angle AOC$ زاوية مركزية تقابل القوس $AC$. الزاوية المحيطية $\angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOC$، إذن: $$y = \frac{x}{2}$$ الزاوية $\angle ABO = z$ هي زاوية قائمة في مثلث قائم نصف قطره، لذا: $$z = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$$ 5. **طول نصف قطر الدائرة 11 وحدة، و $k$ عدد ثابت موجب، بعد مركز الدائرة عن نقطة الأصل:** إذا كان مركز الدائرة يبعد عن نقطة الأصل بمقدار $k$، وقطر الدائرة $2 \times 11 = 22$ وحدة، فإن: $$k > 11$$ لأن نصف القطر 11، والمركز يجب أن يكون على بعد أكبر من نصف القطر ليكون خارج الأصل. **الملخص:** - أ) $ (x+1)^2 - (y-2)^2 = 12$ - ج) لا حلول حقيقية. - محيط دائرة نصف قطرها 4 سم = $8 \pi$ سم. - في الدائرة اليسرى: $x=55^\circ$, $y=25^\circ$. - في الدائرة اليمنى: $z=60^\circ$, $y=\frac{x}{2}$. - $k > 11$.