1. **Problème 2** (a) Le cercle $(\phi)$ a pour diamètre $[AB]$. Le centre $K$ est le milieu de $[AB]$. Si $A=(x_A,y_A)$ et $B=(x_B,y_B)$, alors $$K=\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right).$$ (b) Pour savoir si les points $I$ et $J$ appartiennent au cercle $(\phi)$, on calcule la distance de ces points à $K$ et on compare au rayon $r=\frac{AB}{2}$. $I$ appartient à $(\phi)$ si et seulement si $KI = r$. (c) Pour montrer que $AB1$ est un triangle rectangle isocèle en $I$, on vérifie que $I$ est à égale distance des extrémités $A$ et $B$ et que $\angle AIB$ est droit. 2. **Problème 3** La perpendiculaire à $(AC)$ passant par $I$ coupe $(AC)$ en $L$. Montrer que $L$ est le milieu de $[AC]$ revient à montrer que $L$ divise $[AC]$ en deux segments égaux. Ceci se fait en utilisant la définition de la perpendiculaire et les coordonnées de $A$, $C$ et $I$. 3. **Problème 4** Déterminer les coordonnées de $I$, $K$ et $L$ dans la base $(AB; AC)$ se fait en exprimant chaque vecteur comme combinaison linéaire de $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$. 4. **Exercice 5** $(O; i, j, k)$ est un référentiel orthonormé. Points donnés : $$A(\sqrt{3},1), B(2,0), C(0,-2), H(\sqrt{3}+2,-1).$$ 1) Pour vérifier l'alignement de $A$, $B$, $C$, on calcule le vecteur $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ et on vérifie s'ils sont colinéaires. 2) Calculer $OA=\|\overrightarrow{OA}\|$, $OB=\|\overrightarrow{OB}\|$, $OC=\|\overrightarrow{OC}\|$ où $O$ est l'origine. 3) Montrer que $AH \perp BC$ et $AB \perp CH$ se fait par le produit scalaire nul. 4) Vérifier que $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OH}$. 5) $G$ est le centre de gravité (centroïde) du triangle $ABC$. (a) Montrer que $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC} = 3\overrightarrow{OG}$. (b) Déduire que $O$, $H$, et $G$ sont alignés. --- **Résolution détaillée et calculs** ### 2a) Coordonnées de $K$ (milieu de $AB$) $A=(\sqrt{3},1), B=(2,0)$. Donc $$K=\left(\frac{\sqrt{3}+2}{2}, \frac{1+0}{2}\right) = \left(\frac{\sqrt{3}+2}{2}, \frac{1}{2}\right).$$ ### 2b) Appartenance de $I$ et $J$ au cercle (La question ne précise pas $I$ et $J$ mais elles seront données ou à calculer en contexte. Supposons qu'on ait leurs coordonnées, on calcule la distance à $K$ et la compare au rayon $r = \frac{AB}{2}$.) Calcul rayon : $$AB=\sqrt{(2-\sqrt{3})^2 + (0-1)^2} = \sqrt{(2-\sqrt{3})^2 + 1}.$$ Simplifions $AB^2$ : $$ (2-\sqrt{3})^2 + 1 = (4 - 4\sqrt{3} +3) + 1 = 8 - 4\sqrt{3}.$$ Donc $$r = \frac{AB}{2} = \frac{\sqrt{8 - 4\sqrt{3}}}{2}.$$ Vérifier si $KI = r$ et $KJ = r$ pour déterminer l'appartenance. ### 2c) Montrer que $AB1$ est rectangle et isocèle en $I$ En supposant $I$ est tel que $IA=IB$ et l'angle en $I$ est droit, on montre que $\overrightarrow{IA} \cdot \overrightarrow{IB} = 0$ et $\|IA\| = \|IB\|$. ### 3) Montrer que $L$ est milieu de $[AC]$ Soit $L$ projection orthogonale de $I$ sur $(AC)$. La perpendiculaire à $(AC)$ passant par $I$ coupe $(AC)$ en $L$. Montrer que $L$ est milieu revient à écrire $$\overrightarrow{AL} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AC}$$ ce qui implique $L$ milieu. ### 4) Coordonnées de $I$, $K$, $L$ dans la base $(AB; AC)$ Si $\vec{v}$ est un vecteur, ses coordonnées dans la base $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})$ sont $(\lambda, \mu)$ tels que $$\vec{v} = \lambda \overrightarrow{AB} + \mu \overrightarrow{AC}.$$ Calculer $\lambda$ et $\mu$ par résolution d'un système linéaire. --- ### Exercice 5 1) Vecteurs : $$\overrightarrow{AB} = (2-\sqrt{3}, 0-1) = (2-\sqrt{3}, -1),$$ $$\overrightarrow{AC} = (0-\sqrt{3}, -2-1) = (-\sqrt{3}, -3).$$ Vérifier colinéarité : voir si $\overrightarrow{AB}=t \overrightarrow{AC}$ pour un t. Le rapport des composantes : $$\frac{2-\sqrt{3}}{-\sqrt{3}} ?= \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3}.$$ Calculez la fraction à gauche numériquement : approx $2 - 1.732 = 0.268$, $-\sqrt{3} \approx -1.732$, donc $0.268/-1.732 \approx -0.155$. Ce n'est pas égal à $1/3$, donc $A,B,C$ ne sont pas alignés. 2) Normes: $$OA=\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2} = \sqrt{3+1} = 2,$$ $$OB=\sqrt{2^2+0^2} = 2,$$ $$OC=\sqrt{0^2 + (-2)^2} = 2.$$ Donc $O$ est équidistant aux trois points, il est le centre d'un cercle circonscrit au triangle. 3) Produit scalaire : $$\overrightarrow{AH} = \overrightarrow{H} - \overrightarrow{A} = (\sqrt{3}+2 - \sqrt{3}, -1 - 1) = (2, -2),$$ $$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{B} = (0 - 2, -2 - 0) = (-2, -2).$$ Calcul du produit scalaire: $$\overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{BC} = 2 \times (-2) + (-2) \times (-2) = -4 + 4 = 0,$$ Donc $AH \perp BC$. De même pour $AB \perp CH$: $$\overrightarrow{AB} = (2-\sqrt{3}, -1),$$ $$\overrightarrow{CH} = \overrightarrow{H} - \overrightarrow{C} = (\sqrt{3}+2 - 0, -1 - (-2)) = (\sqrt{3}+2, 1).$$ Produit scalaire: $$(2 - \sqrt{3})(\sqrt{3} + 2) + (-1)(1) = (2-\sqrt{3})(\sqrt{3}+2) -1.$$ Développons: $$2 \times \sqrt{3} + 4 - \sqrt{3} \times \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - 1 = (2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}) + 4 -3 -1 = 0,$$ Donc $AB \perp CH$. $H$ est donc l'orthocentre du triangle. 4) Vecteurs: $$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = (\sqrt{3} + 2 + 0, 1 + 0 - 2) = (\sqrt{3} + 2, -1) = \overrightarrow{OH}.$$ 5a) Le centre de gravité $G$ a pour vecteur: $$\overrightarrow{OG} = \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}}{3}.$$ Donc $$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = 3 \overrightarrow{OG}.$$ 5b) $O, H, G$ sont alignés car $\overrightarrow{OH} = 3 \overrightarrow{OG}$, $H$ est colinéaire avec $G$ à partir de $O$. **Réponse finale:** $$K = \left(\frac{\sqrt{3}+2}{2}, \frac{1}{2}\right),$$ $A,B,C$ non alignés. $O$ est centre du cercle circumscrit. $H$ est orthocentre. $G$ centroid, et $O,H,G$ sont alignés.