1. Énoncé du problème : On a le plan (P) d'équation $$x - 2y + z - 2 = 0$$ et les droites (D) et (D') définies par paramétrisation : - (D) : $$x = m, y = -2m + 1, z = m - 2$$ - (D') : $$x = t + 2, y = t - 1, z = t - 2$$ 2. Démontrer que (D) et (D') ne sont pas coplanaires : - Deux droites sont coplanaires si le vecteur directeur de l’une, le vecteur directeur de l’autre, et le vecteur reliant un point de l’une à un point de l’autre sont coplanaires. - Vecteur directeur de (D) : $$\vec{u} = (1, -2, 1)$$ (car $$x=m$$, $$y=-2m+1$$, $$z=m-2$$) - Vecteur directeur de (D') : $$\vec{v} = (1, 1, 1)$$ (car $$x=t+2$$, $$y=t-1$$, $$z=t-2$$) - Choisissons un point sur (D) pour $$m=0$$ : $$M = (0, 1, -2)$$ - Choisissons un point sur (D') pour $$t=0$$ : $$N = (2, -1, -2)$$ - Vecteur $$\overrightarrow{MN} = N - M = (2, -2, 0)$$ - Calcul du produit mixte : $$[\vec{u}, \vec{v}, \overrightarrow{MN}] = \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \overrightarrow{MN})$$ On calcule \(\vec{v} \times \overrightarrow{MN} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & -2 & 0 \end{vmatrix}\) \(= \vec{i}(1 \times 0 - 1 \times (-2)) - \vec{j}(1 \times 0 - 1 \times 2) + \vec{k}(1 \times (-2) - 1 \times 2) = \vec{i} (2) - \vec{j} (-2) + \vec{k}(-4) = (2, 2, -4)\) Puis $$\vec{u} \cdot (2, 2, -4) = 1 \times 2 + (-2) \times 2 + 1 \times (-4) = 2 - 4 -4 = -6 \neq 0$$ Donc, les droites (D) et (D') ne sont pas coplanaires. 3. a) Prouver que (D) est perpendiculaire à (P) : - Le vecteur normal au plan (P) est $$\vec{n} = (1, -2, 1)$$ - Le vecteur directeur de (D) est $$\vec{u} = (1, -2, 1)$$ - Comme $$\vec{u} = \vec{n}$$, (D) est perpendiculaire au plan (P). b) Trouver les coordonnées de l'intersection I de (D) avec (P) : - On cherche $$m$$ tel que le point $$I$$ sur (D) vérifie l'équation du plan: $$x - 2y + z - 2 = 0$$ Substituons : $$m - 2(-2m +1) + (m - 2) - 2 = 0$$ $$m + 4m - 2 + m - 2 - 2 = 0$$ $$6m - 6 = 0 \Rightarrow 6m = 6 \Rightarrow m = 1$$ - Coordonnées de $$I$$ : $$x=1, y=-2(1) + 1 = -1, z=1 - 2 = -1$$ 4. a) Prouver que (D') est contenu dans (P) : - Prendre un point générique sur (D') : $$M(t) = (t+2, t-1, t-2)$$ - Vérifier s'il satisfait l'équation du plan : $$x - 2y + z - 2 = (t+2) - 2(t-1) + (t-2) - 2$$ Simplifions : $$t + 2 - 2t + 2 + t - 2 - 2 = 0$$ $$t + 2 - 2t + 2 + t - 4 = 0$$ $$0$$ - Ceci montre que chaque point de (D') est sur (P), donc (D') est contenu dans (P). b) Trouver les points d’intersection A et B du cercle (C) de centre I et de rayon $$\sqrt{5}$$ avec (D'): - L’équation du cercle dans le plan (P) est : points $$M$$ tels que $$|\overrightarrow{IM}| = \sqrt{5}$$ - Paramétrisons les points sur (D') : $$M(t) = (t+2, t-1, t-2)$$ - Distance au centre $$I(1, -1, -1)$$ : $$|\overrightarrow{IM}|^2 = (t+2 - 1)^2 + (t -1 + 1)^2 + (t - 2 + 1)^2$$ $$= (t + 1)^2 + t^2 + (t -1)^2 = 5$$ - Développons : $$(t+1)^2 = t^2 + 2t + 1$$ $$t^2 = t^2$$ $$(t-1)^2 = t^2 - 2t + 1$$ - Somme : $$t^2 + 2t + 1 + t^2 + t^2 - 2t + 1 = 5$$ $$3t^2 + 2 = 5$$ $$3t^2 = 3 \Rightarrow t^2 = 1 \Rightarrow t = \pm 1$$ - Points A et B : $$A(1) = (3, 0, -1)$$ $$B(-1) = (1, -2, -3)$$ c) Montrer que le segment (J), milieu de [AB], est perpendiculaire à (D) et (D'): - Coordonnées de J : $$J = \left(\frac{3 + 1}{2}, \frac{0 - 2}{2}, \frac{-1 - 3}{2}\right) = (2, -1, -2)$$ - Vecteur $$\overrightarrow{IJ} = J - I = (2-1, -1+1, -2+1) = (1, 0, -1)$$ - Vecteur directeur de (D) : $$\vec{u} = (1, -2, 1)$$ - Produit scalaire : $$\overrightarrow{IJ} \cdot \vec{u} = 1 \times 1 + 0 \times (-2) + (-1) \times 1 = 1 - 1 = 0$$ - Vecteur directeur de (D') : $$\vec{v} = (1, 1, 1)$$ - Produit scalaire : $$\overrightarrow{IJ} \cdot \vec{v} = 1 \times 1 + 0 \times 1 + (-1) \times 1 = 1 - 1 = 0$$ - Ainsi, $$\overrightarrow{IJ}$$ est orthogonal aux vecteurs directeurs de (D) et (D'), donc (J) est perpendiculaire à (D) et (D').