1. **Enoncer le problème**: Trouver les points d'intersection du plan (P) d'équation $x + y + z - 2 = 0$ avec les axes, écrire les équations paramétriques d'une droite perpendiculaire au plan passant par l'origine, puis déterminer des propriétés géométriques liées aux points donnés. 2. **Points d'intersection A, B et C avec les axes**: - Sur l'axe $x$, $y=0$ et $z=0$. Alors $x + 0 + 0 - 2 = 0 \Rightarrow x=2$. Donc $A(2,0,0)$. - Sur l'axe $y$, $x=0$ et $z=0$. Alors $0 + y + 0 - 2 = 0 \Rightarrow y=2$. Donc $B(0,2,0)$. - Sur l'axe $z$, $x=0$ et $y=0$. Alors $0 + 0 + z - 2 = 0 \Rightarrow z=2$. Donc $C(0,0,2)$. 3. **Equations paramétriques de la droite (d) passant par O (0,0,0) et perpendiculaire au plan (P)**: - Le vecteur normal au plan est $\vec{n} = (1,1,1)$. - Ainsi, (d) a pour vecteur directeur $\vec{d} = (1,1,1)$ et passe par O. - Système paramétrique : $$\begin{cases} x = t \\ y = t \\ z = t \end{cases}, t \in \mathbb{R}.$$ 4. **Coordonnées du point W intersection de (d) et (P)**: - W appartient à (d), donc $W(t) = (t,t,t)$. - W appartient à (P), donc $t + t + t - 2 = 0 \Rightarrow 3t = 2 \Rightarrow t = \frac{2}{3}$. - Donc $W = \left(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right)$. 5. **W est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC**: - $A = (2,0,0)$, $B = (0,2,0)$, $C = (0,0,2)$. - Le cercle circonscrit est centré à l'intersection des médiatrices de ce triangle. - Verifions que W est équidistant de A, B et C: $$WA = \sqrt{\left(2 - \frac{2}{3}\right)^2 + \left(0 - \frac{2}{3}\right)^2 + \left(0 - \frac{2}{3}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{4}{3}\right)^2 + \left(-\frac{2}{3}\right)^2 + \left(-\frac{2}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{16}{9} + \frac{4}{9} + \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{24}{9}} = \frac{2\sqrt{6}}{3}.$$ $$WB = \sqrt{\left(0 - \frac{2}{3}\right)^2 + \left(2 - \frac{2}{3}\right)^2 + \left(0 - \frac{2}{3}\right)^2} = \frac{2\sqrt{6}}{3}.$$ $$WC = \sqrt{\left(0 - \frac{2}{3}\right)^2 + \left(0 - \frac{2}{3}\right)^2 + \left(2 - \frac{2}{3}\right)^2} = \frac{2\sqrt{6}}{3}.$$ - Tous les segments sont égaux, donc W est bien le centre du cercle circonscrit. 6. **Vérifier que $E(\frac{4}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{4}{3})$ est le symétrique de B par rapport à W**: - Le milieu de $BE$ est $W$ si $E$ est le symétrique de $B$ par rapport à $W$. - Calcul du milieu de $B(0,2,0)$ et $E\left(\frac{4}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{4}{3}\right)$: $$M = \left(\frac{0 + \frac{4}{3}}{2}, \frac{2 + (-\frac{2}{3})}{2}, \frac{0 + \frac{4}{3}}{2}\right) = \left(\frac{2}{3}, \frac{4/3}{2}, \frac{2}{3}\right) = \left(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right) = W.$$ - C'est exact, donc $E$ est le symétrique de $B$ par rapport à $W$. 7. **Calcul de l'aire du quadrilatère $ABCE$**: - Le quadrilatère $ABCE$ est formé des points $A(2,0,0)$, $B(0,2,0)$, $C(0,0,2)$ et $E\left(\frac{4}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{4}{3}\right)$. - On peut diviser le quadrilatère en deux triangles : $ABC$ et $ACE$. - **Calcul de l'aire de $\triangle ABC$**: - Vecteurs: $$\overrightarrow{AB} = B - A = (-2, 2, 0),$$ $$\overrightarrow{AC} = C - A = (-2, 0, 2).$$ - Aire: $$S_{ABC} = \frac{1}{2} \|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\|,$$ $$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -2 & 2 & 0 \\ -2 & 0 & 2 \end{vmatrix} = (2\times2 - 0\times0, 0\times -2 - (-2)\times 2, -2\times 0 - 2\times (-2)) = (4,4,4).$$ $$\|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\| = \sqrt{4^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}.$$ $$S_{ABC} = \frac{1}{2} \times 4\sqrt{3} = 2\sqrt{3}.$$ - **Calcul de l'aire de $\triangle ACE$**: - Vecteurs: $$\overrightarrow{AC} = (-2, 0, 2),$$ $$\overrightarrow{AE} = E - A = \left(\frac{4}{3} - 2, -\frac{2}{3} - 0, \frac{4}{3} - 0\right) = \left(-\frac{2}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{4}{3}\right).$$ - Aire: $$S_{ACE} = \frac{1}{2} \|\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AE}\|,$$ $$\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AE} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -2 & 0 & 2 \\ -\frac{2}{3} & -\frac{2}{3} & \frac{4}{3} \end{vmatrix} = \left(0 \times \frac{4}{3} - 2 \times (-\frac{2}{3}), -\Big(-2 \times \frac{4}{3} - 2 \times (-\frac{2}{3})\Big), -2 \times (-\frac{2}{3}) - 0 \times (-\frac{2}{3})\right) = \left(\frac{4}{3}, -\left(-\frac{8}{3} + \frac{4}{3}\right), \frac{4}{3}\right) = \left(\frac{4}{3}, -\left(-\frac{4}{3}\right), \frac{4}{3}\right) = \left(\frac{4}{3}, \frac{4}{3}, \frac{4}{3}\right).$$ $$\|\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AE}\| = \sqrt{\left(\frac{4}{3}\right)^2 + \left(\frac{4}{3}\right)^2 + \left(\frac{4}{3}\right)^2} = \sqrt{3 \times \frac{16}{9}} = \sqrt{\frac{48}{9}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}.$$ $$S_{ACE} = \frac{1}{2} \times \frac{4\sqrt{3}}{3} = \frac{2\sqrt{3}}{3}.$$ - **Aire totale du quadrilatère:** $$S_{ABCE} = S_{ABC} + S_{ACE} = 2\sqrt{3} + \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{6\sqrt{3} + 2\sqrt{3}}{3} = \frac{8\sqrt{3}}{3}.$$