1. Problema: Encontrar la ecuación general de la recta para cada caso dado. 25. Pendiente $m=4$, pasa por $(1,-2)$. Usamos la fórmula punto-pendiente: $$y - y_1 = m(x - x_1)$$ $$y + 2 = 4(x - 1)$$ $$y + 2 = 4x - 4$$ $$y = 4x - 6$$ Ecuación general: $$4x - y - 6 = 0$$ 26. Pendiente $m = -\frac{1}{2}$, pasa por $(4,0)$. $$y - 0 = -\frac{1}{2}(x - 4)$$ $$y = -\frac{1}{2}x + 2$$ Ecuación general: $$x + 2y - 4 = 0$$ 27. Pendiente $m=0$, pasa por $(1,-2)$. Pendiente cero indica línea horizontal. $$y = -2$$ Ecuación general: $$y + 2 = 0$$ 28. Pasa por $(2,3)$ y $(4,8)$. Pendiente: $$m = \frac{8-3}{4-2} = \frac{5}{2}$$ Usamos punto $(2,3)$: $$y - 3 = \frac{5}{2}(x - 2)$$ $$y - 3 = \frac{5}{2}x - 5$$ $$y = \frac{5}{2}x - 2$$ Ecuación general: $$5x - 2y - 4 = 0$$ 29. Pasa por $(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ y $(-\sqrt{3}, \sqrt{2})$. Pendiente: $$m = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{-\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{- (\sqrt{3} + \sqrt{2})}$$ Simplificamos: $$m = -\frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = -\frac{(\sqrt{2} - \sqrt{3})(\sqrt{3} - \sqrt{2})}{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})} = -\frac{-1}{3 - 2} = 1$$ Usamos punto $(\sqrt{2}, \sqrt{3})$: $$y - \sqrt{3} = 1(x - \sqrt{2})$$ $$y = x - \sqrt{2} + \sqrt{3}$$ Ecuación general: $$x - y + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 0$$ 30. Pasa por $(\pi, \sqrt{3})$ y $(\pi + 1, 2\sqrt{3})$. Pendiente: $$m = \frac{2\sqrt{3} - \sqrt{3}}{(\pi + 1) - \pi} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$$ Usamos punto $(\pi, \sqrt{3})$: $$y - \sqrt{3} = \sqrt{3}(x - \pi)$$ $$y = \sqrt{3}x - \pi\sqrt{3} + \sqrt{3}$$ Ecuación general: $$\sqrt{3}x - y + \sqrt{3}(1 - \pi) = 0$$ 31. Pasa por $(-4,0)$ y $(-4,3)$. La $x$ es constante, línea vertical: $$x = -4$$ Ecuación general: $$x + 4 = 0$$ 32. Paralela al eje $y$, pasa por $(4,-3)$. Línea vertical: $$x = 4$$ Ecuación general: $$x - 4 = 0$$ 33. Paralela al eje $x$, pasa por $(1,-8)$. Línea horizontal: $$y = -8$$ Ecuación general: $$y + 8 = 0$$ 34. Intercepto en $x = -2$, $y = 3$. Ecuación con interceptos: $$\frac{x}{-2} + \frac{y}{3} = 1$$ Multiplicamos por 6: $$-3x + 2y = 6$$ Ecuación general: $$3x - 2y + 6 = 0$$ 35. Intercepto en $x=2$, $y=-5$. $$\frac{x}{2} + \frac{y}{-5} = 1$$ Multiplicamos por 10: $$5x - 2y = 10$$ Ecuación general: $$5x - 2y - 10 = 0$$ 36. Ordenada en el origen $-3$, pendiente $-1$. Ecuación: $$y = -1x - 3$$ Ecuación general: $$x + y + 3 = 0$$ 37. Pasa por $(4,-3)$ perpendicular a $x = -3$. La recta $x = -3$ es vertical, perpendicular es horizontal: $$y = -3$$ Ecuación general: $$y + 3 = 0$$ 38. Pasa por $(4,0)$ paralela a $3x - y - 2 = 0$. Pendiente de la dada: $$3x - y - 2 = 0 \Rightarrow y = 3x - 2$$ Pendiente $m=3$. Ecuación punto-pendiente: $$y - 0 = 3(x - 4)$$ $$y = 3x - 12$$ Ecuación general: $$3x - y - 12 = 0$$ 39. Pasa por $(3,9)$ perpendicular a $3x - y + 1 = 0$. Pendiente de la dada: $$y = 3x + 1$$ Pendiente $m=3$, perpendicular tiene pendiente $m_p = -\frac{1}{3}$. Ecuación: $$y - 9 = -\frac{1}{3}(x - 3)$$ $$y - 9 = -\frac{1}{3}x + 1$$ $$y = -\frac{1}{3}x + 10$$ Ecuación general: $$x + 3y - 30 = 0$$ 40. Pasa por $(3,-3)$ paralela a la recta que pasa por $(-1,2)$ y $(3,-1)$. Pendiente: $$m = \frac{-1 - 2}{3 - (-1)} = \frac{-3}{4} = -\frac{3}{4}$$ Ecuación: $$y + 3 = -\frac{3}{4}(x - 3)$$ $$y + 3 = -\frac{3}{4}x + \frac{9}{4}$$ $$y = -\frac{3}{4}x + \frac{9}{4} - 3 = -\frac{3}{4}x - \frac{3}{4}$$ Ecuación general: $$3x + 4y + 3 = 0$$ 41. Pasa por $(-3,-1)$ perpendicular a la recta que pasa por $(-1,2)$ y $(3,-1)$. Pendiente de la recta dada: $$m = -\frac{3}{4}$$ Pendiente perpendicular: $$m_p = \frac{4}{3}$$ Ecuación: $$y + 1 = \frac{4}{3}(x + 3)$$ $$y + 1 = \frac{4}{3}x + 4$$ $$y = \frac{4}{3}x + 3$$ Ecuación general: $$4x - 3y + 9 = 0$$ 42. Pasa por $(3,3)$ perpendicular a $x = -1$. La recta $x = -1$ es vertical, perpendicular es horizontal: $$y = 3$$ Ecuación general: $$y - 3 = 0$$ 43. Pasa por $(3,3)$ perpendicular a $y = -2$. La recta $y = -2$ es horizontal, perpendicular es vertical: $$x = 3$$ Ecuación general: $$x - 3 = 0$$