1. **Planteamiento del problema:** Dadas las ecuaciones paramétricas de una recta: $$x(t) = 2t - 1, \quad y(t) = 3t + 4, \quad -2 \leq t \leq 3$$ Se pide graficar la curva, identificar la orientación y encontrar la ecuación cartesiana equivalente. 2. **Fórmulas y reglas importantes:** Para convertir de forma paramétrica a cartesiana, despejamos $t$ de una de las ecuaciones y sustituimos en la otra. 3. **Despeje de $t$ en función de $x$:** $$x = 2t - 1 \implies 2t = x + 1 \implies t = \frac{x + 1}{2}$$ 4. **Sustitución en la ecuación de $y$:** $$y = 3t + 4 = 3 \left( \frac{x + 1}{2} \right) + 4 = \frac{3(x + 1)}{2} + 4$$ 5. **Simplificación:** $$y = \frac{3x + 3}{2} + 4 = \frac{3x + 3}{2} + \frac{8}{2} = \frac{3x + 11}{2}$$ 6. **Interpretación:** La ecuación cartesiana equivalente es: $$y = \frac{3x + 11}{2}$$ 7. **Orientación:** El parámetro $t$ va de $-2$ a $3$, por lo que la curva comienza en $t = -2$ y termina en $t = 3$. Esto indica que la orientación de la recta es desde el punto correspondiente a $t = -2$ hacia el punto correspondiente a $t = 3$. 8. **Puntos extremos:** Para $t = -2$: $$x(-2) = 2(-2) - 1 = -5, \quad y(-2) = 3(-2) + 4 = -2$$ Para $t = 3$: $$x(3) = 2(3) - 1 = 5, \quad y(3) = 3(3) + 4 = 13$$ Por lo tanto, la recta va del punto $(-5, -2)$ al punto $(5, 13)$ con orientación creciente en $t$. **Respuesta final:** La ecuación cartesiana equivalente es $$y = \frac{3x + 11}{2}$$ y la orientación de la curva es desde $(-5, -2)$ hacia $(5, 13)$ conforme $t$ aumenta de $-2$ a $3$.