1. Problema: Encontrar o ponto de encontro da reta dada pelas equações paramétricas $x=1+2t$, $y=2+t$, $z=-1-2t$ com o plano $2x+y+4z=1$. 2. Substituímos as expressões paramétricas da reta na equação do plano: $$2(1+2t) + (2+t) + 4(-1-2t) = 1$$ 3. Simplificando: $$2 + 4t + 2 + t - 4 - 8t = 1$$ $$ (4t + t - 8t) + (2 + 2 - 4) = 1$$ $$ -3t + 0 = 1$$ 4. Resolvendo para $t$: $$-3t = 1 \Rightarrow t = -\frac{1}{3}$$ 5. Substituindo $t = -\frac{1}{3}$ nas equações da reta para encontrar o ponto: $$x = 1 + 2\left(-\frac{1}{3}\right) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$$ $$y = 2 + \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{5}{3}$$ $$z = -1 - 2\left(-\frac{1}{3}\right) = -1 + \frac{2}{3} = -\frac{1}{3}$$ 6. Portanto, o ponto de encontro é $\left(\frac{1}{3}, \frac{5}{3}, -\frac{1}{3}\right)$. --- 1. Problema: Determinar as equações paramétricas da reta $L$ que passa pelo ponto $(-2,-3,-2)$ e é paralela ao vetor $2\mathbf{i} + \mathbf{j} - \mathbf{k}$. 2. A equação paramétrica da reta é dada por: $$x = x_0 + at, \quad y = y_0 + bt, \quad z = z_0 + ct$$ onde $(x_0,y_0,z_0)$ é um ponto da reta e $(a,b,c)$ é o vetor diretor. 3. Substituindo o ponto e o vetor: $$x = -2 + 2t$$ $$y = -3 + t$$ $$z = -2 - t$$ 4. Portanto, as equações paramétricas são: $$\boxed{x = -2 + 2t, \quad y = -3 + t, \quad z = -2 - t}$$ --- 1. Problema: Identificar a superfície representada pela equação $-x^2 - y^2 + z^2 = 1$. 2. Reescrevendo: $$z^2 - x^2 - y^2 = 1$$ 3. Esta é a forma padrão de um hiperboloide de uma folha ou duas folhas. Como o termo $z^2$ é positivo e os outros negativos, e o lado direito é positivo, trata-se de um hiperboloide de duas folhas. 4. Portanto, a superfície é um hiperboloide de duas folhas. --- 1. Problema: Determinar qual equação representa a superfície quádrupla dada. 2. Analisando as opções, a equação que corresponde a um hiperboloide de uma folha é: $$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{4} - \frac{z^2}{1} = 1$$ 3. A única opção que se encaixa é: $$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{4} - z^2 = 1$$ 4. Portanto, a equação correta é: $$\boxed{\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{4} - z^2 = 1}$$ --- 1. Problema: Encontrar as equações paramétricas da reta que contém a diagonal do cubo com vértices na base $(0,0,0)$, $(3,0,0)$, $(0,3,0)$ e $(3,3,0)$ e que passa pela origem. 2. A diagonal que passa pela origem vai do ponto $(0,0,0)$ ao ponto oposto na face superior, que é $(3,3,3)$. 3. O vetor diretor é então $(3,3,3)$. 4. As equações paramétricas são: $$x = 3t, \quad y = 3t, \quad z = 3t$$ 5. Portanto, a resposta correta é: $$\boxed{x=3t, y=3t, z=3t, t \in \mathbb{R}}$$ --- 1. Problema: Determinar o vértice, foco e diretriz da parábola dada por $(x+2)^2 = 8(y-3)$. 2. A forma padrão da parábola vertical é: $$(x - h)^2 = 4p(y - k)$$ onde $(h,k)$ é o vértice e $p$ é a distância do vértice ao foco. 3. Comparando: $$4p = 8 \Rightarrow p = 2$$ 4. O vértice é $(-2,3)$. 5. O foco está a uma distância $p=2$ acima do vértice: $$(-2, 3+2) = (-2,5)$$ 6. A diretriz é a reta horizontal abaixo do vértice a distância $p$: $$y = 3 - 2 = 1$$ 7. Portanto, vértice, foco e diretriz são: $$\boxed{(-2,3); (-2,5); y=1}$$ --- 1. Problema: Determinar a equação geral do plano que contém o ponto $P(0,3,2)$ e é paralelo aos vetores $\mathbf{u} = (1,2,0)$ e $\mathbf{v} = (0,3,1)$. 2. O vetor normal ao plano é o produto vetorial: $$\mathbf{n} = \mathbf{u} \times \mathbf{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \end{vmatrix} = (2 \cdot 1 - 0 \cdot 3)\mathbf{i} - (1 \cdot 1 - 0 \cdot 0)\mathbf{j} + (1 \cdot 3 - 2 \cdot 0)\mathbf{k} = (2, -1, 3)$$ 3. A equação do plano é: $$2(x - 0) - 1(y - 3) + 3(z - 2) = 0$$ 4. Simplificando: $$2x - y + 3z - 9 = 0 \Rightarrow 2x - y + 3z = 9$$ 5. Portanto, a equação geral do plano é: $$\boxed{2x - y + 3z = 9}$$ --- 1. Problema: Determinar a equação paramétrica da reta que passa pelos pontos $P_1 = (1,3,2)$ e $P_2 = (4,5,3)$. 2. O vetor diretor é: $$(4-1, 5-3, 3-2) = (3, 2, 1)$$ 3. A equação paramétrica da reta é: $$x = 1 + 3t, \quad y = 3 + 2t, \quad z = 2 + t$$ 4. Portanto, a resposta correta é: $$\boxed{x=1+3t, y=3+2t, z=2+t}$$