1. **Nyatakan masalah:** Diberi sektor ACDE berpusat di A dan sektor OABC berpusat di O dengan OA = 13 cm, AC = 8.89 cm, dan sudut \(\angle O = 40^\circ\). Kita diminta mencari: (a) \(\angle OAC\) dalam radian. (b) Perimeter sektor ACDE. (c) Luas rantau berlorek (sektor OABC). 2. **Cari \(\angle OAC\) dalam radian:** Sudut \(\angle OAC\) adalah sudut di titik A antara garis AO dan AC. Gunakan teorem kosinus pada segitiga OAC: $$OA^2 = AC^2 + OC^2 - 2 \times AC \times OC \times \cos(\angle OAC)$$ Namun, kita tidak diberi OC, tetapi kita tahu sudut di O adalah 40° dan OA = 13 cm, AC = 8.89 cm. Alternatif: Gunakan definisi sudut di A dengan vektor atau gunakan sinus. Kerana \(\angle O = 40^\circ\) adalah sudut pusat sektor OABC, dan AC adalah tali busur sektor OABC, kita boleh anggap segitiga OAC adalah segitiga dengan sisi OA dan AC diketahui. Gunakan hukum sinus: $$\frac{OA}{\sin(\angle OCA)} = \frac{AC}{\sin(\angle OAC)} = \frac{OC}{\sin(\angle AOC)}$$ Sudut \(\angle AOC = 40^\circ\) (sudut pusat sektor OABC). Oleh itu: $$\frac{13}{\sin(\angle OCA)} = \frac{8.89}{\sin(\angle OAC)}$$ Sudut dalam segitiga OAC adalah: $$\angle OAC + \angle OCA + \angle AOC = 180^\circ$$ $$\angle OAC + \angle OCA + 40^\circ = 180^\circ$$ $$\angle OAC + \angle OCA = 140^\circ$$ Setkan \(x = \angle OAC\), maka \(\angle OCA = 140^\circ - x\). Gunakan hukum sinus: $$\frac{13}{\sin(140^\circ - x)} = \frac{8.89}{\sin x}$$ Selesaikan untuk \(x\): $$13 \sin x = 8.89 \sin(140^\circ - x)$$ Gunakan identiti sinus: $$\sin(140^\circ - x) = \sin 140^\circ \cos x - \cos 140^\circ \sin x$$ Nilai: $$\sin 140^\circ = \sin(180^\circ - 40^\circ) = \sin 40^\circ \approx 0.6428$$ $$\cos 140^\circ = -\cos 40^\circ \approx -0.7660$$ Jadi: $$13 \sin x = 8.89 (0.6428 \cos x + 0.7660 \sin x)$$ $$13 \sin x = 5.713 \cos x + 6.808 \sin x$$ Susun semula: $$13 \sin x - 6.808 \sin x = 5.713 \cos x$$ $$6.192 \sin x = 5.713 \cos x$$ $$\tan x = \frac{5.713}{6.192} \approx 0.9227$$ Oleh itu: $$x = \arctan(0.9227) \approx 42.7^\circ$$ Tukar ke radian: $$\angle OAC = 42.7^\circ \times \frac{\pi}{180} = 42.7 \times \frac{3.142}{180} \approx 0.745 \text{ rad}$$ 3. **Cari perimeter sektor ACDE:** Perimeter sektor = panjang busur + 2 kali jejari Sektor ACDE berpusat di A dengan jejari = AC = 8.89 cm Sudut pusat sektor ACDE adalah \(\angle OAC + \angle CAD\) tetapi kita tidak diberi sudut CAD secara langsung. Namun, sektor ACDE adalah sektor yang meliputi sudut \(\angle OAC\) dan sudut lain yang tidak diberi, tetapi biasanya sektor ACDE adalah sektor dengan sudut sama dengan \(\angle OAC\) (andaian dari konteks). Oleh itu, anggap sudut sektor ACDE = \(\angle OAC = 0.745\) rad Panjang busur sektor ACDE: $$s = r \theta = 8.89 \times 0.745 = 6.62 \text{ cm}$$ Perimeter sektor ACDE: $$P = s + 2r = 6.62 + 2 \times 8.89 = 6.62 + 17.78 = 24.4 \text{ cm}$$ 4. **Cari luas rantau berlorek (sektor OABC):** Sektor OABC berpusat di O dengan jejari OA = 13 cm dan sudut pusat \(40^\circ = 40 \times \frac{\pi}{180} = 0.698 \text{ rad}\) Luas sektor: $$A = \frac{1}{2} r^2 \theta = \frac{1}{2} \times 13^2 \times 0.698 = \frac{1}{2} \times 169 \times 0.698 = 59.0 \text{ cm}^2$$ **Jawapan akhir:** (a) \(\angle OAC \approx 0.745\) rad (b) Perimeter sektor ACDE \(\approx 24.4\) cm (c) Luas rantau berlorek sektor OABC \(\approx 59.0\) cm\(^2\)