1. Diberikan kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk $12\sqrt{3}$. Titik $P$ adalah titik tengah dari diagonal $CG$. 2. Kita cari koordinat titik-titik penting dengan asumsi kubus berorientasi pada sistem koordinat 3D: misal $A=(0,0,0)$, $B=(12\sqrt{3},0,0)$, $C=(12\sqrt{3},12\sqrt{3},0)$, $D=(0,12\sqrt{3},0)$, $E=(0,0,12\sqrt{3})$, $F=(12\sqrt{3},0,12\sqrt{3})$, $G=(12\sqrt{3},12\sqrt{3},12\sqrt{3})$, $H=(0,12\sqrt{3},12\sqrt{3})$. 3. Titik $C$ adalah $(12\sqrt{3},12\sqrt{3},0)$ dan $G$ adalah $(12\sqrt{3},12\sqrt{3},12\sqrt{3})$. Titik tengah $P$ dari $CG$ adalah $$P=\left(12\sqrt{3},12\sqrt{3},\frac{0+12\sqrt{3}}{2}\right)=\left(12\sqrt{3},12\sqrt{3},6\sqrt{3}\right).$$ 4. Diagonal $BD$ menghubungkan $B=(12\sqrt{3},0,0)$ dan $D=(0,12\sqrt{3},0)$. 5. Jarak titik $P$ ke garis $BD$ dihitung dengan rumus jarak titik ke garis dalam ruang: $$d=\frac{|(\overrightarrow{BP} \times \overrightarrow{BD})|}{|\overrightarrow{BD}|}$$ 6. Vektor $\overrightarrow{BP} = P - B = (12\sqrt{3}-12\sqrt{3},12\sqrt{3}-0,6\sqrt{3}-0) = (0,12\sqrt{3},6\sqrt{3})$. 7. Vektor $\overrightarrow{BD} = D - B = (0-12\sqrt{3},12\sqrt{3}-0,0-0) = (-12\sqrt{3},12\sqrt{3},0)$. 8. Hitung cross product $\overrightarrow{BP} \times \overrightarrow{BD}$: $$\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 12\sqrt{3} & 6\sqrt{3} \\ -12\sqrt{3} & 12\sqrt{3} & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(12\sqrt{3} \cdot 0 - 6\sqrt{3} \cdot 12\sqrt{3}) - \mathbf{j}(0 \cdot 0 - 6\sqrt{3} \cdot (-12\sqrt{3})) + \mathbf{k}(0 \cdot 12\sqrt{3} - 12\sqrt{3} \cdot (-12\sqrt{3}))$$ $$= \mathbf{i}(0 - 72 \cdot 3) - \mathbf{j}(0 + 72 \cdot 3) + \mathbf{k}(0 + 144 \cdot 3) = \mathbf{i}(-216) - \mathbf{j}(216) + \mathbf{k}(432)$$ 9. Jadi, $\overrightarrow{BP} \times \overrightarrow{BD} = (-216, -216, 432)$. 10. Magnitudo cross product: $$|\overrightarrow{BP} \times \overrightarrow{BD}| = \sqrt{(-216)^2 + (-216)^2 + 432^2} = \sqrt{46656 + 46656 + 186624} = \sqrt{279936} = 528.$$ 11. Magnitudo vektor $\overrightarrow{BD}$: $$|\overrightarrow{BD}| = \sqrt{(-12\sqrt{3})^2 + (12\sqrt{3})^2 + 0^2} = \sqrt{(12^2 \cdot 3) + (12^2 \cdot 3)} = \sqrt{432 + 432} = \sqrt{864} = 12\sqrt{6}.$$ 12. Jarak titik $P$ ke garis $BD$: $$d = \frac{528}{12\sqrt{6}} = \frac{528}{12} \cdot \frac{1}{\sqrt{6}} = 44 \cdot \frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{44\sqrt{6}}{6} = \frac{22\sqrt{6}}{3}.$$ 13. Jadi, jarak dari titik $P$ ke diagonal $BD$ adalah $\boxed{\frac{22\sqrt{6}}{3}}$.