1. Diketahui lingkaran dengan pusat O dan jari-jari $r=5$ cm. Titik P berada pada jarak $OP=13$ cm dari pusat lingkaran. Hitung panjang garis singgung dari P ke lingkaran. 2. Diketahui lingkaran dengan pusat O dan jari-jari $r=12$ cm. Titik A berada pada jarak $OA=10$ cm dari pusat lingkaran. Dari A ditarik dua garis singgung ke lingkaran membentuk bangun layang-layang ABOC. ### Soal 1: Panjang garis singgung dari P ke lingkaran 1. Garis singgung lingkaran tegak lurus dengan jari-jari di titik singgung, sehingga segitiga $OPA$ siku-siku di $A$. 2. Gunakan teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku $OPA$: $$PA^2 = OP^2 - OA^2$$ 3. Substitusi nilai: $$PA^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$$ 4. Maka panjang garis singgung: $$PA = \sqrt{144} = 12 \text{ cm}$$ ### Soal 2A: Luas bangun layang-layang ABOC 1. Garis singgung dari titik A ke lingkaran adalah dua garis singgung $AB$ dan $AC$ yang sama panjang. 2. Karena $AB$ dan $AC$ adalah garis singgung dari titik yang sama, maka $AB = AC$. 3. Panjang garis singgung $AB$ dihitung dengan teorema Pythagoras: $$AB^2 = OA^2 - OB^2 = 10^2 - 12^2 = 100 - 144 = -44$$ Ini tidak mungkin, artinya titik A berada di dalam lingkaran, sehingga tidak ada garis singgung dari A. Namun, soal menyatakan ada dua garis singgung dari A, jadi kemungkinan jarak $OA$ harus lebih besar dari $r$. Jika $OA=10$ cm dan $r=12$ cm, maka titik A berada di dalam lingkaran, sehingga tidak bisa menarik garis singgung. Jika diasumsikan $OA=13$ cm (seperti soal pertama), maka: $$AB^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25$$ $$AB = 5 \text{ cm}$$ 4. Luas layang-layang adalah setengah hasil kali diagonalnya. Diagonal $AC$ dan $BO$ sama dengan $2r=24$ cm, dan diagonal lainnya adalah $2 \times AB = 10$ cm. 5. Luas layang-layang: $$L = \frac{d_1 \times d_2}{2} = \frac{24 \times 10}{2} = 120 \text{ cm}^2$$ ### Soal 2B: Panjang tali busur BC 1. Tali busur $BC$ adalah garis yang menghubungkan titik singgung garis singgung dari A. 2. Segitiga $OBC$ adalah segitiga sama kaki dengan $OB=OC=12$ cm. 3. Panjang $BC$ dapat dihitung dengan rumus: $$BC = 2 \times \sqrt{r^2 - AB^2}$$ 4. Substitusi nilai: $$BC = 2 \times \sqrt{12^2 - 5^2} = 2 \times \sqrt{144 - 25} = 2 \times \sqrt{119} \approx 2 \times 10.91 = 21.82 \text{ cm}$$ ### Jawaban akhir: - Panjang garis singgung dari P ke lingkaran: $12$ cm - Luas bangun layang-layang ABOC: $120$ cm$^2$ - Panjang tali busur BC: $21.82$ cm