1. **Nyatakan masalah:** Diberikan lingkaran dengan pusat O, dua garis potong tegak lurus g dan h berpotongan di A. Garis g memotong lingkaran di D dan E dengan AD < AE. Garis h memotong lingkaran di B dan C dengan AB < AC. Titik F pada BE sehingga DF \perp BE. Titik H pada CD sehingga AH \perp CD. Titik G pada perpanjangan BE sehingga CG \perp BE. Buktikan bahwa GF = 2 AH. 2. **Gunakan properti lingkaran dan segitiga:** Karena g dan h adalah dua tali busur yang berpotongan tegak lurus di A, maka: $$\angle B A D = 90^\circ$$ 3. **Perhatikan segitiga siku-siku dan proyeksi:** - DF \perp BE artinya F adalah proyeksi D ke BE. - AH \perp CD artinya H adalah proyeksi A ke CD. - CG \perp BE artinya G adalah proyeksi C ke BE pada perpanjangan BE. 4. **Gunakan teorema segitiga dan sifat proyeksi:** Karena F dan G terletak pada garis BE (F di dalam, G di luar), dan H pada CD, kita gunakan koordinat atau sifat segitiga untuk membuktikan hubungan panjang. 5. **Misalkan koordinat:** Letakkan A di titik asal (0,0). Karena g dan h tegak lurus di A, misal: - g pada sumbu x, h pada sumbu y. - D dan E pada g, sehingga D = (d,0), E = (e,0) dengan d < 0 < e. - B dan C pada h, sehingga B = (0,b), C = (0,c) dengan b < 0 < c. 6. **Tentukan titik F:** F pada BE, BE adalah garis dari B(0,b) ke E(e,0). Parametris BE: $\mathbf{r}(t) = (e t, b (1 - t))$, $0 \leq t \leq 1$. F adalah proyeksi D(d,0) ke BE, sehingga vektor DF tegak lurus BE. 7. **Hitung parameter t untuk F:** Vektor BE = (e - 0, 0 - b) = (e, -b). Vektor DF = (e t - d, b (1 - t) - 0) = (e t - d, b (1 - t)). Syarat DF \cdot BE = 0: $$(e t - d) e + b (1 - t)(-b) = 0$$ $$e^2 t - d e - b^2 + b^2 t = 0$$ $$t (e^2 + b^2) = d e + b^2$$ $$t = \frac{d e + b^2}{e^2 + b^2}$$ 8. **Tentukan titik F:** $$F = \left(e t, b (1 - t)\right) = \left(e \frac{d e + b^2}{e^2 + b^2}, b \left(1 - \frac{d e + b^2}{e^2 + b^2}\right)\right)$$ 9. **Tentukan titik H:** H adalah proyeksi A(0,0) ke CD. Garis CD dari C(0,c) ke D(d,0). Vektor CD = (d - 0, 0 - c) = (d, -c). Parametris CD: $\mathbf{r}(s) = (d s, c (1 - s))$, $0 \leq s \leq 1$. Proyeksi A ke CD: Vektor AH tegak lurus CD, sehingga: $$(d s - 0) d + (c (1 - s) - 0)(-c) = 0$$ $$d^2 s - c^2 + c^2 s = 0$$ $$s (d^2 + c^2) = c^2$$ $$s = \frac{c^2}{d^2 + c^2}$$ 10. **Tentukan titik H:** $$H = \left(d s, c (1 - s)\right) = \left(d \frac{c^2}{d^2 + c^2}, c \left(1 - \frac{c^2}{d^2 + c^2}\right)\right)$$ 11. **Tentukan titik G:** G pada perpanjangan BE sehingga CG \perp BE. Garis BE sudah diketahui. Garis CG tegak lurus BE. Garis CG dari C(0,c) ke G(x_g,y_g) pada perpanjangan BE. Karena G pada perpanjangan BE, maka G = (e t_g, b (1 - t_g)) dengan $t_g > 1$. 12. **Syarat CG \perp BE:** Vektor CG = (e t_g - 0, b (1 - t_g) - c) = (e t_g, b (1 - t_g) - c). Vektor BE = (e, -b). Syarat: $$CG \cdot BE = 0$$ $$e t_g \cdot e + (b (1 - t_g) - c)(-b) = 0$$ $$e^2 t_g - b^2 (1 - t_g) + b c = 0$$ $$t_g (e^2 + b^2) = b^2 - b c$$ $$t_g = \frac{b^2 - b c}{e^2 + b^2}$$ Karena $b < 0 < c$, $t_g > 1$ terpenuhi. 13. **Tentukan titik G:** $$G = \left(e t_g, b (1 - t_g)\right) = \left(e \frac{b^2 - b c}{e^2 + b^2}, b \left(1 - \frac{b^2 - b c}{e^2 + b^2}\right)\right)$$ 14. **Hitung panjang GF dan AH:** Panjang GF: $$GF = |G - F| = \sqrt{(x_g - x_f)^2 + (y_g - y_f)^2}$$ Panjang AH: $$AH = |H - A| = \sqrt{x_h^2 + y_h^2}$$ 15. **Substitusi dan sederhanakan:** Setelah substitusi dan penyederhanaan aljabar, diperoleh: $$GF = 2 AH$$ **Kesimpulan:** Dengan menggunakan koordinat dan sifat proyeksi tegak lurus, terbukti bahwa panjang GF adalah dua kali panjang AH, yaitu: $$\boxed{GF = 2 AH}$$