1. Diberikan kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk $12\sqrt{3}$. Titik $P$ adalah titik tengah diagonal $CG$. Kita diminta mencari jarak titik $P$ ke diagonal $BD$. 2. Pertama, kita tentukan koordinat titik-titik pada kubus. Misalkan titik $A$ di koordinat $(0,0,0)$, maka: - $B(12\sqrt{3},0,0)$ - $C(12\sqrt{3},12\sqrt{3},0)$ - $D(0,12\sqrt{3},0)$ - $E(0,0,12\sqrt{3})$ - $F(12\sqrt{3},0,12\sqrt{3})$ - $G(12\sqrt{3},12\sqrt{3},12\sqrt{3})$ - $H(0,12\sqrt{3},12\sqrt{3})$ 3. Titik $P$ adalah titik tengah diagonal $CG$, sehingga koordinat $P$ adalah rata-rata koordinat $C$ dan $G$: $$P = \left(\frac{12\sqrt{3}+12\sqrt{3}}{2}, \frac{12\sqrt{3}+12\sqrt{3}}{2}, \frac{0+12\sqrt{3}}{2}\right) = (12\sqrt{3}, 12\sqrt{3}, 6\sqrt{3})$$ 4. Diagonal $BD$ memiliki titik $B(12\sqrt{3},0,0)$ dan $D(0,12\sqrt{3},0)$. Vektor $\overrightarrow{BD} = D - B = (-12\sqrt{3}, 12\sqrt{3}, 0)$. 5. Jarak titik $P$ ke garis $BD$ dapat dihitung dengan rumus jarak titik ke garis: $$d = \frac{|(\overrightarrow{BP} \times \overrightarrow{BD})|}{|\overrightarrow{BD}|}$$ Dimana $\overrightarrow{BP} = P - B = (0, 12\sqrt{3}, 6\sqrt{3})$. 6. Hitung perkalian silang: $$\overrightarrow{BP} \times \overrightarrow{BD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 12\sqrt{3} & 6\sqrt{3} \\ -12\sqrt{3} & 12\sqrt{3} & 0 \end{vmatrix}$$ $$= \mathbf{i}(12\sqrt{3} \cdot 0 - 6\sqrt{3} \cdot 12\sqrt{3}) - \mathbf{j}(0 \cdot 0 - 6\sqrt{3} \cdot (-12\sqrt{3})) + \mathbf{k}(0 \cdot 12\sqrt{3} - 12\sqrt{3} \cdot (-12\sqrt{3}))$$ $$= \mathbf{i}(0 - 72 \cdot 3) - \mathbf{j}(0 + 72 \cdot 3) + \mathbf{k}(0 + 144 \cdot 3)$$ $$= \mathbf{i}(-216) - \mathbf{j}(216) + \mathbf{k}(432)$$ 7. Magnitudo dari vektor ini: $$|\overrightarrow{BP} \times \overrightarrow{BD}| = \sqrt{(-216)^2 + (-216)^2 + 432^2} = \sqrt{46656 + 46656 + 186624} = \sqrt{279936} = 528$$ 8. Magnitudo vektor $\overrightarrow{BD}$: $$|\overrightarrow{BD}| = \sqrt{(-12\sqrt{3})^2 + (12\sqrt{3})^2 + 0^2} = \sqrt{(144 \cdot 3) + (144 \cdot 3)} = \sqrt{864} = 12\sqrt{6}$$ 9. Jadi jarak titik $P$ ke diagonal $BD$ adalah: $$d = \frac{528}{12\sqrt{6}} = \frac{528}{12} \cdot \frac{1}{\sqrt{6}} = 44 \cdot \frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{44\sqrt{6}}{6} = \frac{22\sqrt{6}}{3}$$ Jadi, jarak dari titik $P$ ke diagonal $BD$ adalah $\boxed{\frac{22\sqrt{6}}{3}}$.