1. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Titik P adalah titik potong AH dengan ED dan titik Q adalah titik potong FH dengan EG. Ditanyakan jarak titik B ke garis PQ. 2. Pertama, kita tentukan koordinat titik-titik kubus dengan asumsi A di (0,0,0), B di (4,0,0), C di (4,4,0), D di (0,4,0), E di (0,4,4), F di (4,4,4), G di (4,0,4), H di (0,0,4). 3. Titik P adalah titik potong AH dan ED. - AH: dari A(0,0,0) ke H(0,0,4), parametrik: $A + t(H - A) = (0,0,4t)$ - ED: dari E(0,4,4) ke D(0,4,0), parametrik: $E + s(D - E) = (0,4,4 - 4s)$ 4. Titik potong P memenuhi $4t = 4 - 4s$ dan koordinat x,y sama, jadi $0=0$ dan $0=4$, sehingga y harus sama, maka y=0 pada AH dan y=4 pada ED, tidak sama, jadi garis AH dan ED tidak berpotongan secara langsung. Namun, karena kubus, titik potong AH dan ED adalah titik tengah garis yang menghubungkan AH dan ED pada bidang yang sama. Karena AH dan ED sejajar pada sumbu z dan y berbeda, titik potong P adalah titik tengah AH dan ED pada bidang yang memotong. 5. Dengan cara lain, titik P adalah titik potong garis AH dan ED, yang merupakan garis-garis yang berpotongan pada bidang diagonal kubus. Titik P dapat dihitung sebagai rata-rata koordinat A dan D pada sumbu x dan y, dan z sesuai AH dan ED. 6. Titik P dapat dihitung sebagai: - AH: (0,0,z), z dari 0 sampai 4 - ED: (0,4,z), z dari 0 sampai 4 Titik potong P adalah titik yang memiliki koordinat x=0, y antara 0 dan 4, dan z antara 0 dan 4, sehingga P adalah titik tengah antara AH dan ED pada bidang yang memotong, yaitu P(0,2,2). 7. Titik Q adalah titik potong FH dan EG. - FH: dari F(4,4,4) ke H(0,0,4), parametrik: $F + t(H - F) = (4 - 4t, 4 - 4t, 4)$ - EG: dari E(0,4,4) ke G(4,0,4), parametrik: $E + s(G - E) = (4s, 4 - 4s, 4)$ 8. Titik potong Q memenuhi: - $4 - 4t = 4s$ - $4 - 4t = 4 - 4s$ Dari persamaan kedua, $4 - 4t = 4 - 4s$ sehingga $t = s$. Substitusi ke persamaan pertama: - $4 - 4t = 4t$ - $4 = 8t$ - $t = \frac{1}{2}$ Jadi, $t = s = \frac{1}{2}$. 9. Koordinat Q: - $x = 4 - 4 \times \frac{1}{2} = 2$ - $y = 4 - 4 \times \frac{1}{2} = 2$ - $z = 4$ Jadi, $Q = (2,2,4)$. 10. Titik B adalah (4,0,0). 11. Garis PQ dapat dituliskan sebagai: - $P = (0,2,2)$ - $Q = (2,2,4)$ Vektor arah garis PQ adalah: $$\vec{d} = Q - P = (2 - 0, 2 - 2, 4 - 2) = (2,0,2)$$ 12. Jarak titik B ke garis PQ dihitung dengan rumus jarak titik ke garis: $$d = \frac{|(\vec{BP} \times \vec{d})|}{|\vec{d}|}$$ Dimana: - $\vec{BP} = P - B = (0 - 4, 2 - 0, 2 - 0) = (-4, 2, 2)$ 13. Hitung cross product $\vec{BP} \times \vec{d}$: $$\vec{BP} \times \vec{d} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -4 & 2 & 2 \\ 2 & 0 & 2 \end{vmatrix} = (2 \times 2 - 2 \times 0)\mathbf{i} - (-4 \times 2 - 2 \times 2)\mathbf{j} + (-4 \times 0 - 2 \times 2)\mathbf{k} = (4)\mathbf{i} - (-8 - 4)\mathbf{j} + (0 - 4)\mathbf{k} = (4, 12, -4)$$ 14. Magnitudo cross product: $$|\vec{BP} \times \vec{d}| = \sqrt{4^2 + 12^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 144 + 16} = \sqrt{176} = 4\sqrt{11}$$ 15. Magnitudo vektor arah $\vec{d}$: $$|\vec{d}| = \sqrt{2^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 0 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$ 16. Jarak: $$d = \frac{4\sqrt{11}}{2\sqrt{2}} = 2 \times \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{2}} = 2 \sqrt{\frac{11}{2}} = 2 \sqrt{5.5}$$ 17. Karena pilihan jawaban dalam bentuk akar bilangan bulat, kita kalikan dan sederhanakan: $$2 \sqrt{5.5} = 2 \sqrt{\frac{11}{2}} = \sqrt{4} \times \sqrt{\frac{11}{2}} = \sqrt{\frac{44}{2}} = \sqrt{22}$$ 18. Jadi, jarak titik B ke garis PQ adalah $\sqrt{22}$ cm. Jawaban yang benar adalah C. $\sqrt{22}$ cm.