1. Diketahui titik A(1, 2) dan B(-3, 6). Kita cari titik P sehingga $AP : PB = 1 : 2$. 2. Tentukan persamaan garis yang melalui A(-4, 7) dan tegak lurus garis $5x - 2y + 4 = 0$. 3. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat M(3, -2) dan menyinggung garis $2x - 3y + 5 = 0$. 4. Tentukan persamaan elips dengan pusat (1, 2), eksentrisitas $\frac{4}{5}$, dan direktriks $4x = 25$. 5. Tentukan persamaan garis singgung elips $5(x - 2)^2 + 20(y + 3)^2 = 100$ di titik dengan ordinat $-2$. 6. Tentukan persamaan hiperbola dengan fokus (6, 0), (-6, 0) dan puncak (5, 0), (-5, 0). 7. Tentukan persamaan garis singgung hiperbola $4(y + 3)^2 - 9(x - 1)^2 = 36$ di titik (1, -6). 8. Tentukan nilai $a$ agar garis $y = ax - 3$ menyinggung parabola $y^2 = 4x$. --- 1. Titik P membagi garis AB dengan perbandingan 1:2, gunakan rumus titik bagi: $$P = \left( \frac{1 \times (-3) + 2 \times 1}{1+2}, \frac{1 \times 6 + 2 \times 2}{1+2} \right) = \left( \frac{-3 + 2}{3}, \frac{6 + 4}{3} \right) = \left( -\frac{1}{3}, \frac{10}{3} \right)$$ 2. Gradien garis $5x - 2y + 4 = 0$ adalah $m_1 = \frac{5}{2}$. Garis tegak lurus memiliki gradien $m_2 = -\frac{1}{m_1} = -\frac{2}{5}$. Persamaan garis melalui A(-4,7): $$y - 7 = -\frac{2}{5}(x + 4) \Rightarrow y = -\frac{2}{5}x + \frac{8}{5} + 7 = -\frac{2}{5}x + \frac{43}{5}$$ 3. Persamaan lingkaran: $$ (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = r^2 $$ Jarak pusat ke garis $2x - 3y + 5 = 0$ adalah jari-jari $r$: $$r = \frac{|2(3) - 3(-2) + 5|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2}} = \frac{|6 + 6 + 5|}{\sqrt{4 + 9}} = \frac{17}{\sqrt{13}}$$ Persamaan lingkaran: $$ (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = \left( \frac{17}{\sqrt{13}} \right)^2 = \frac{289}{13} $$ 4. Eksentrisitas $e = \frac{c}{a} = \frac{4}{5}$. Direktriks $x = \frac{25}{4} = 6.25$. Pusat (1, 2) berarti elips bergeser. Jarak dari pusat ke direktriks adalah $|6.25 - 1| = 5.25$. Hubungan direktriks dan elips: $$ \text{Direktriks} = \frac{a}{e} = 5.25 \Rightarrow a = 5.25 \times e = 5.25 \times \frac{4}{5} = 4.2 $$ Gunakan rumus elips standar: $$ \frac{(x - 1)^2}{a^2} + \frac{(y - 2)^2}{b^2} = 1 $$ Dengan $c = e a = 4.2 \times \frac{4}{5} = 3.36$, dan $b^2 = a^2 - c^2 = 4.2^2 - 3.36^2 = 17.64 - 11.29 = 6.35$. Jadi: $$ \frac{(x - 1)^2}{17.64} + \frac{(y - 2)^2}{6.35} = 1 $$ 5. Elips: $$ 5(x - 2)^2 + 20(y + 3)^2 = 100 \Rightarrow \frac{(x - 2)^2}{20} + \frac{(y + 3)^2}{5} = 1 $$ Titik P dengan ordinat $y = -2$, substitusi ke elips: $$ \frac{(x - 2)^2}{20} + \frac{(-2 + 3)^2}{5} = 1 \Rightarrow \frac{(x - 2)^2}{20} + \frac{1}{5} = 1 \Rightarrow \frac{(x - 2)^2}{20} = \frac{4}{5} \Rightarrow (x - 2)^2 = 16 $$ Jadi $x - 2 = \pm 4$, titik singgung: $P_1 = (6, -2)$ dan $P_2 = (-2, -2)$. Persamaan garis singgung elips di titik $(x_0, y_0)$: $$ \frac{(x_0 - 2)(x - 2)}{20} + \frac{(y_0 + 3)(y + 3)}{5} = 1 $$ Untuk $P_1(6, -2)$: $$ \frac{(6 - 2)(x - 2)}{20} + \frac{(-2 + 3)(y + 3)}{5} = 1 \Rightarrow \frac{4(x - 2)}{20} + \frac{1(y + 3)}{5} = 1 \Rightarrow \frac{x - 2}{5} + \frac{y + 3}{5} = 1 \Rightarrow x + y = 4 $$ 6. Fokus di $(\pm 6, 0)$ dan puncak di $(\pm 5, 0)$ berarti hiperbola horizontal dengan: $$ c = 6, a = 5, b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{36 - 25} = \sqrt{11} $$ Persamaan hiperbola: $$ \frac{(x - 0)^2}{25} - \frac{y^2}{11} = 1 $$ 7. Hiperbola: $$ 4(y + 3)^2 - 9(x - 1)^2 = 36 \Rightarrow \frac{(y + 3)^2}{9} - \frac{(x - 1)^2}{4} = 1 $$ Gradien garis singgung di titik $(1, -6)$: Turunan implisit: $$ \frac{2(y + 3)}{9} \frac{dy}{dx} - \frac{2(x - 1)}{4} = 0 \Rightarrow \frac{2(y + 3)}{9} \frac{dy}{dx} = \frac{2(x - 1)}{4} $$ Di titik $(1, -6)$: $$ \frac{2(-6 + 3)}{9} \frac{dy}{dx} = \frac{2(1 - 1)}{4} = 0 \Rightarrow \frac{2(-3)}{9} \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = 0 $$ Jadi gradien garis singgung $m = 0$. Persamaan garis singgung: $$ y = -6 $$ 8. Garis $y = ax - 3$ menyinggung parabola $y^2 = 4x$. Substitusi: $$ (ax - 3)^2 = 4x \Rightarrow a^2 x^2 - 6a x + 9 = 4x \Rightarrow a^2 x^2 - (6a + 4) x + 9 = 0 $$ Agar garis menyinggung parabola, diskriminan harus nol: $$ \Delta = (6a + 4)^2 - 4 a^2 \times 9 = 0 $$ $$ (6a + 4)^2 = 36 a^2 $$ $$ 36 a^2 + 48 a + 16 = 36 a^2 \Rightarrow 48 a + 16 = 0 \Rightarrow 48 a = -16 \Rightarrow a = -\frac{1}{3} $$ Jawaban akhir: 1. $P = \left(-\frac{1}{3}, \frac{10}{3}\right)$ 2. $y = -\frac{2}{5}x + \frac{43}{5}$ 3. $x^2 + y^2 - 6x + 4y - \frac{225}{13} = 0$ 4. $\frac{(x - 1)^2}{17.64} + \frac{(y - 2)^2}{6.35} = 1$ 5. Garis singgung di $P_1$: $x + y = 4$ 6. $\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{11} = 1$ 7. Garis singgung: $y = -6$ 8. $a = -\frac{1}{3}$