1. **Problema:** En un triángulo con lados $AB=2.5$, $BC=3.5$, y $AC=4.2$ pulgadas, se pide calcular: a) el rumbo de A a C. b) el rumbo de B a C. 2. **Objetivo:** Los rumbos se calculan con respecto a la dirección norte-sur y se miden en grados desde el norte hacia el este o el oeste. 3. **Paso 1 – Calcular los ángulos del triángulo usando la ley del coseno:** - Para el ángulo en B ($\angle B$) entre los lados $AB$ y $BC$, usamos: $$\cos \angle B = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \times AB \times BC} = \frac{2.5^2 + 3.5^2 - 4.2^2}{2 \times 2.5 \times 3.5}$$ $$= \frac{6.25 + 12.25 - 17.64}{17.5} = \frac{0.86}{17.5} = 0.04914$$ $$\angle B = \cos^{-1}(0.04914) \approx 87.18^\circ$$ - Para el ángulo en A ($\angle A$) entre los lados $AB$ y $AC$: $$\cos \angle A = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \times AB \times AC} = \frac{2.5^2 + 4.2^2 - 3.5^2}{2 \times 2.5 \times 4.2}$$ $$= \frac{6.25 + 17.64 - 12.25}{21} = \frac{11.64}{21} = 0.5543$$ $$\angle A = \cos^{-1}(0.5543) \approx 56.42^\circ$$ 4. **Paso 2 – Determinar orientación y rumbos:** - Dado que A está al oeste de B, el rumbo de A a B es $270^\circ$ (oeste). - El ángulo en A es entre $AB$ y $AC$, por lo que para ir de A a C se gira desde el oeste hacia el norte por $\angle A = 56.42^\circ$. - El rumbo de A a C es entonces: $$270^\circ - 56.42^\circ = 213.58^\circ$$ Esto es equivalente a $180^\circ + 33.58^\circ$, es decir, $33.58^\circ$ hacia el suroeste, o en términos náuticos: S $33.58^\circ$ O. - Para el rumbo de B a C, el ángulo en B es $87.18^\circ$, siendo el ángulo entre $AB$ (orientado de A a B, este a oeste) y $BC$. - Puesto que B está a la derecha (este) de A, y C está más arriba, el rumbo de B a C es justo $87.18^\circ$ desde el este hacia el norte, osea: $$90^\circ - 87.18^\circ = 2.82^\circ$$ Hacia el norte desde el este, esto equivale a N $2.82^\circ$ E. 5. **Respuestas finales:** - a) Rumbo de A a C: S $33.58^\circ$ O. - b) Rumbo de B a C: N $2.82^\circ$ E.