1. **Énoncé du problème :** Nous avons deux parallélogrammes ABDC et ACEF. Nous devons compléter les égalités vectorielles données. 2. **Rappel important :** Dans un parallélogramme, les vecteurs des côtés opposés sont égaux : $$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$$ $$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$$ De plus, la somme des vecteurs le long des côtés d'un parallélogramme suit la règle : $$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$$ 3. **Résolution des questions :** **a.** $$\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BD}$$ Or, $$\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$$ et $$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{DC}$$ Mais dans le parallélogramme ABDC, $$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$$ donc $$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{AB}$$ Donc, $$\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BD} = -\overrightarrow{AB} + (\overrightarrow{BC} - \overrightarrow{AB}) = \overrightarrow{BC} - 2\overrightarrow{AB}$$ Mais simplifions autrement : Dans ABDC, $$\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BC}$$ (car $$\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BC}$$ par la règle du parallélogramme). **b.** $$\overrightarrow{AE} + \overrightarrow{AB}$$ Dans le parallélogramme ACEF, $$\overrightarrow{AE} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AF}$$ **c.** $$\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{EF} = \overrightarrow{BF}$$ Car $$\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{EF} = \overrightarrow{BF}$$ (vecteurs reliant B à F via C et E). **d.** $$\overrightarrow{CF} - \overrightarrow{CE} = \overrightarrow{EF}$$ Car $$\overrightarrow{CF} - \overrightarrow{CE} = \overrightarrow{EF}$$ par définition. **e.** $$\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BC}$$ Car $$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$$ donc en soustrayant $$\overrightarrow{AB}$$ on obtient $$\overrightarrow{BC}$$. **f.** $$\overrightarrow{DC} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC}$$ Mais dans le parallélogramme ABDC, $$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$$ donc $$\overrightarrow{DC} + \overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{AB}$$. **Réponses finales :** a. $$\overrightarrow{BC}$$ b. $$\overrightarrow{AF}$$ c. $$\overrightarrow{BF}$$ d. $$\overrightarrow{EF}$$ e. $$\overrightarrow{BC}$$ f. $$2\overrightarrow{AB}$$