1. **Énoncé du problème :** Calculer les vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{DE}$, $\overrightarrow{DB}$ à partir des points donnés : $A(1, -1)$, $B(4, 0)$, $C(10, 2)$, $D(2, 3)$, $E(8, 5)$. 2. **Formule utilisée :** Le vecteur $\overrightarrow{PQ}$ entre deux points $P(x_1, y_1)$ et $Q(x_2, y_2)$ est donné par : $$\overrightarrow{PQ} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$$ 3. **Calculs intermédiaires :** - $\overrightarrow{AB} = (4 - 1, 0 - (-1)) = (3, 1)$ - $\overrightarrow{BC} = (10 - 4, 2 - 0) = (6, 2)$ - $\overrightarrow{DE} = (8 - 2, 5 - 3) = (6, 2)$ - $\overrightarrow{DB} = (4 - 2, 0 - 3) = (2, -3)$ 4. **Interprétation :** Les vecteurs $\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{DE}$ sont égaux, ce qui sera utile pour montrer que $BCED$ est un parallélogramme. --- 1. **Énoncé :** Montrer que le quadrilatère $BCED$ est un parallélogramme. 2. **Rappel :** Un quadrilatère est un parallélogramme si ses côtés opposés sont égaux en vecteurs. 3. **Calculs :** - $\overrightarrow{BC} = (6, 2)$ - $\overrightarrow{DE} = (6, 2)$ - $\overrightarrow{CE} = (8 - 10, 5 - 2) = (-2, 3)$ - $\overrightarrow{BD} = (2 - 4, 3 - 0) = (-2, 3)$ 4. **Conclusion :** Les vecteurs opposés $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{DE}$ et $\overrightarrow{CE} = \overrightarrow{BD}$ sont égaux, donc $BCED$ est un parallélogramme. --- 1. **Énoncé :** Montrer que les points $A$, $B$, $C$ sont alignés. 2. **Méthode :** Trois points sont alignés si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires. 3. **Calculs :** - $\overrightarrow{AB} = (3, 1)$ - $\overrightarrow{AC} = (10 - 1, 2 - (-1)) = (9, 3)$ 4. **Vérification de colinéarité :** Le vecteur $\overrightarrow{AC} = 3 \times \overrightarrow{AB}$ car $(9, 3) = 3 \times (3, 1)$. 5. **Conclusion :** Les vecteurs sont colinéaires, donc les points $A$, $B$, $C$ sont alignés. --- 1. **Énoncé :** Trouver les coordonnées du milieu $I$ du segment $[BE]$. 2. **Formule :** Le milieu $I$ de $[PQ]$ est donné par : $$I = \left(\frac{x_P + x_Q}{2}, \frac{y_P + y_Q}{2}\right)$$ 3. **Calcul :** $$I = \left(\frac{4 + 8}{2}, \frac{0 + 5}{2}\right) = (6, 2.5)$$ --- 1. **Énoncé :** Donner une représentation paramétrique de la droite passant par $B$ et $C$. 2. **Formule :** Une droite passant par $P(x_0, y_0)$ avec un vecteur directeur $\vec{v} = (a, b)$ s'écrit : $$\begin{cases} x = x_0 + t a \\ y = y_0 + t b \end{cases}$$ 3. **Calcul :** - Point $B(4, 0)$ - Vecteur directeur $\overrightarrow{BC} = (6, 2)$ 4. **Représentation :** $$\begin{cases} x = 4 + 6t \\ y = 0 + 2t \end{cases}$$ --- 1. **Énoncé :** Donner une équation de la droite $(\Delta)$ passant par $A$ et parallèle à $(BD)$. 2. **Formule :** Une droite parallèle à une autre a le même vecteur directeur. 3. **Calcul :** - $A(1, -1)$ - $\overrightarrow{BD} = (2 - 4, 3 - 0) = (-2, 3)$ 4. **Équation paramétrique :** $$\begin{cases} x = 1 - 2t \\ y = -1 + 3t \end{cases}$$ 5. **Forme cartésienne :** - Trouvons l'équation cartésienne : - Le vecteur directeur est $(-2, 3)$, donc un vecteur normal est $(3, 2)$ - L'équation est : $$3(x - 1) + 2(y + 1) = 0$$ $$3x - 3 + 2y + 2 = 0$$ $$3x + 2y - 1 = 0$$ **Réponse finale :** $3x + 2y - 1 = 0$