1. **Énoncé du problème :** On considère les points A(0, 2), B(1, -2) et C(1, 1). 2. **Calcul des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{BC}\) :** Les coordonnées d'un vecteur \(\overrightarrow{XY}\) sont données par \((x_Y - x_X, y_Y - y_X)\). - \(\overrightarrow{AB} = (1 - 0, -2 - 2) = (1, -4)\) - \(\overrightarrow{AC} = (1 - 0, 1 - 2) = (1, -1)\) - \(\overrightarrow{BC} = (1 - 1, 1 - (-2)) = (0, 3)\) 3. **Écriture des vecteurs dans la base \((\vec{i}, \vec{j})\) :** - \(\overrightarrow{AB} = 1\vec{i} - 4\vec{j}\) - \(\overrightarrow{AC} = 1\vec{i} - 1\vec{j}\) - \(\overrightarrow{BC} = 0\vec{i} + 3\vec{j}\) 4. **Calcul des vecteurs \(\vec{u} = 3 \vec{AC}\) et \(\vec{v} = \vec{AC} - 2\vec{BC} + 3\vec{AB}\) :** - \(\vec{u} = 3 \times (1, -1) = (3, -3)\) - \(\vec{v} = (1, -1) - 2 \times (0, 3) + 3 \times (1, -4)\) Calculons \(\vec{v}\) coordonnée par coordonnée : - Composante en \(x\) : \(1 - 2 \times 0 + 3 \times 1 = 1 + 0 + 3 = 4\) - Composante en \(y\) : \(-1 - 2 \times 3 + 3 \times (-4) = -1 - 6 - 12 = -19\) Donc \(\vec{v} = (4, -19)\). 5. **Coordonnées du milieu du segment [AC] :** Le milieu \(M\) de \([AC]\) a pour coordonnées : $$ M = \left( \frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2} \right) = \left( \frac{0 + 1}{2}, \frac{2 + 1}{2} \right) = \left( \frac{1}{2}, \frac{3}{2} \right) $$ **Réponse finale :** - \(\overrightarrow{AB} = (1, -4)\) - \(\overrightarrow{AC} = (1, -1)\) - \(\overrightarrow{BC} = (0, 3)\) - \(\vec{u} = (3, -3)\) - \(\vec{v} = (4, -19)\) - Milieu de \([AC]\) : \(\left( \frac{1}{2}, \frac{3}{2} \right)\)