1. **Énoncé du problème :** Nous avons un carré $ABCD$ de centre $O$ et de côté 1. Le point $M$ est quelconque. On considère le vecteur $\overrightarrow{V} = 2\overrightarrow{MA} - 4\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MD}.$ 2. **Question 2° : Montrer que $\overrightarrow{V}$ est orthogonal à $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$.** 3. **Rappel des vecteurs :** $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}, \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\right) = (1,0)$ $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OA} = \left(-\frac{1}{2} + \frac{1}{2}, -\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\right) = (0,-1)$ 4. **Vecteur $\overrightarrow{V}$ calculé précédemment :** $\overrightarrow{V} = (-3,3)$ 5. **Calcul du produit scalaire $\overrightarrow{V} \cdot \overrightarrow{AB}$ :** $$ \overrightarrow{V} \cdot \overrightarrow{AB} = (-3) \times 1 + 3 \times 0 = -3 + 0 = -3 $$ 6. **Calcul du produit scalaire $\overrightarrow{V} \cdot \overrightarrow{AD}$ :** $$ \overrightarrow{V} \cdot \overrightarrow{AD} = (-3) \times 0 + 3 \times (-1) = 0 - 3 = -3 $$ 7. **Conclusion 2° :** Les produits scalaires ne sont pas nuls, donc $\overrightarrow{V}$ n'est pas orthogonal à $\overrightarrow{AB}$ ni à $\overrightarrow{AD}$. --- 8. **Question 3° : Calculer la norme de $\overrightarrow{V}$ et en déduire la distance entre les droites $(AB)$ et $(CD)$.** 9. **Norme de $\overrightarrow{V}$ :** $$ \|\overrightarrow{V}\| = \sqrt{(-3)^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} $$ 10. **Distance entre les droites $(AB)$ et $(CD)$ :** Le carré a pour côté 1, donc la distance entre $(AB)$ et $(CD)$ est égale à la longueur du côté, soit 1. 11. **Lien avec $\overrightarrow{V}$ :** Le vecteur $\overrightarrow{V}$ est un vecteur fixe lié à la configuration, mais sa norme ne correspond pas directement à la distance entre $(AB)$ et $(CD)$. 12. **Conclusion 3° :** La distance entre les droites $(AB)$ et $(CD)$ est 1, et la norme de $\overrightarrow{V}$ est $3\sqrt{2}$.