1. **Énoncé du problème :** Trouver la valeur de $x$ dans le triangle rectangle $ABC$ où $\angle C = 90^\circ$, $BC = 7$ cm, $CD = 5$ cm (hauteur issue de $C$ sur $AB$), et $AB = x$. 2. **Formule utilisée :** Dans un triangle rectangle, la hauteur issue de l'angle droit vérifie la relation métrique : $$CD^2 = AD \times DB$$ De plus, on sait que : $$AB = AD + DB = x$$ 3. **Calculs intermédiaires :** - On connaît $BC = 7$ cm, $CD = 5$ cm. - Par le théorème de Pythagore dans les petits triangles formés par la hauteur, on peut exprimer $AD$ et $DB$ en fonction de $x$. 4. **Utilisation de la relation de la hauteur dans un triangle rectangle :** La hauteur $CD$ est la moyenne géométrique des segments $AD$ et $DB$ : $$CD^2 = AD \times DB$$ 5. **Relation entre $AD$, $DB$ et $x$ :** $$AD + DB = x$$ 6. **Utilisation du théorème de Pythagore dans les triangles $ACD$ et $BCD$ :** - Dans $\triangle BCD$ : $$BC^2 = BD^2 + CD^2 \Rightarrow 7^2 = BD^2 + 5^2 \Rightarrow 49 = BD^2 + 25 \Rightarrow BD^2 = 24 \Rightarrow BD = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$$ - Dans $\triangle ACD$ : $$AC^2 = AD^2 + CD^2$$ Mais on ne connaît pas $AC$, donc on va utiliser la relation $AD = x - BD$. 7. **Calcul de $AD$ :** On sait que $CD^2 = AD \times BD$, donc : $$25 = AD \times 2\sqrt{6} \Rightarrow AD = \frac{25}{2\sqrt{6}} = \frac{25\sqrt{6}}{12}$$ 8. **Calcul de $x$ :** $$x = AD + BD = \frac{25\sqrt{6}}{12} + 2\sqrt{6} = \sqrt{6} \left( \frac{25}{12} + 2 \right) = \sqrt{6} \left( \frac{25}{12} + \frac{24}{12} \right) = \sqrt{6} \times \frac{49}{12} = \frac{49\sqrt{6}}{12}$$ 9. **Conclusion :** La valeur de $x$ est $$x = \frac{49\sqrt{6}}{12} \approx 20,0 \text{ cm}$$ Cette méthode utilise les relations métriques dans un triangle rectangle avec la hauteur issue de l'angle droit.