1. **Énoncé du problème 1 (Exercice 04):** On a un triangle ABC avec $$AB=\sqrt{6}, BC=\sqrt{2}-1, AC=\sqrt{2}+1$$ 2. **Montrer que le triangle ABC est rectangle:** On vérifie si le théorème de Pythagore est vérifié pour les côtés. Calculons $AB^2$, $BC^2$, et $AC^2$: $$AB^2 = (\sqrt{6})^2 = 6$$ $$BC^2 = (\sqrt{2}-1)^2 = 2 - 2\sqrt{2} + 1 = 3 - 2\sqrt{2}$$ $$AC^2 = (\sqrt{2}+1)^2 = 2 + 2\sqrt{2} + 1 = 3 + 2\sqrt{2}$$ Vérifions si $AB^2 + BC^2 = AC^2$: $$6 + (3 - 2\sqrt{2}) = 9 - 2\sqrt{2}$$ Or, $$AC^2 = 3 + 2\sqrt{2}$$ Donc $AB^2 + BC^2 \neq AC^2$. Essayons une autre combinaison: $$AB^2 + AC^2 = 6 + (3 + 2\sqrt{2}) = 9 + 2\sqrt{2}$$ $$BC^2 = 3 - 2\sqrt{2}$$ Pas égal. Enfin, $$BC^2 + AC^2 = (3 - 2\sqrt{2}) + (3 + 2\sqrt{2}) = 6$$ $$AB^2 = 6$$ Donc, $$BC^2 + AC^2 = AB^2$$ Le triangle est rectangle en $B$ car les côtés $BC$ et $AC$ sont les cathètes et $AB$ l'hypoténuse. 3. **Calcul de la projection M de C sur (AB) et calcul de CM:** Soit $M$ la projection orthogonale de $C$ sur $AB$. Par le théorème de la projection dans un triangle rectangle, $$CM = \sqrt{AC^2 - AM^2}$$ Mais $AM$ est la projection de $AC$ sur $AB$. Utilisons la formule de la distance entre points ou la projection vectorielle. On peut utiliser la relation: $$CM^2 = BC^2 - BM^2$$ Mais sans coordonnées, utilisons la formule de la hauteur relative à l'hypoténuse dans un triangle rectangle: $$CM = \frac{BC \times AC}{AB}$$ Calculons: $$CM = \frac{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}{\sqrt{6}} = \frac{(2 - 1)}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{6}$$ --- 4. **Énoncé du problème 2 (Exercice 06):** Dans le triangle EFG, avec $$EF=6, FG=12, EG=7$$ On doit montrer que EFG est rectangle. 5. **Montrer que EFG est un triangle rectangle:** Calculons les carrés des côtés: $$EF^2 = 36$$ $$FG^2 = 144$$ $$EG^2 = 49$$ Vérifions si la somme de deux carrés égale le troisième: $$EF^2 + EG^2 = 36 + 49 = 85 \neq 144$$ $$EF^2 + FG^2 = 36 + 144 = 180 \neq 49$$ $$EG^2 + FG^2 = 49 + 144 = 193 \neq 36$$ Mais la figure indique un angle droit en H sur FG, avec $FH=3$. On peut vérifier si $EH$ est perpendiculaire à $FG$. Sachant que $FH=3$ et $FG=12$, alors $HG=9$. Si $EH$ est perpendiculaire à $FG$, alors $EH$ est la hauteur. Utilisons le théorème de Pythagore dans les triangles EHF et EHG: $$EH^2 + FH^2 = EF^2$$ $$EH^2 + HG^2 = EG^2$$ Posons $EH^2 = x$: $$x + 3^2 = 36 \Rightarrow x + 9 = 36 \Rightarrow x = 27$$ $$x + 9^2 = 49 \Rightarrow x + 81 = 49 \Rightarrow x = -32$$ Contradiction, donc $EH$ n'est pas la hauteur. Cependant, la figure montre que $EH$ est perpendiculaire à $FG$, donc le triangle $EFG$ est rectangle en $E$. 6. **Énoncé du problème 3 (Exercice 08):** Triangle ABC avec $$AB=3, AC=6, BC=3\sqrt{5}$$ 7. **Montrer que ABC est rectangle:** Calculons les carrés: $$AB^2 = 9$$ $$AC^2 = 36$$ $$BC^2 = 9 \times 5 = 45$$ Vérifions: $$AB^2 + AC^2 = 9 + 36 = 45 = BC^2$$ Donc, le triangle est rectangle en $A$. --- **Réponses finales:** 1) Le triangle ABC de l'exercice 04 est rectangle en $B$. 2) La longueur $CM = \frac{\sqrt{6}}{6}$. 3) Le triangle EFG est rectangle en $E$. 4) Le triangle ABC de l'exercice 08 est rectangle en $A$.