1. **Énoncé du problème :** Trouver les restrictions sur $x$ pour que les longueurs des côtés des triangles soient positives. Déterminer ensuite le rapport des aires des triangles $ABC$ et $DEF$. 2. **Restrictions sur $x$ :** Les longueurs doivent être positives : - $6x - 9 > 0 \Rightarrow 6x > 9 \Rightarrow x > \frac{3}{2}$ - $2x + 4 > 0 \Rightarrow 2x > -4 \Rightarrow x > -2$ (toujours vrai si $x > \frac{3}{2}$) - $2x - 3 > 0 \Rightarrow 2x > 3 \Rightarrow x > \frac{3}{2}$ - $3x > 0 \Rightarrow x > 0$ La restriction la plus forte est donc $x > \frac{3}{2}$. 3. **Calcul des aires :** L'aire d'un triangle est donnée par la formule $$\text{Aire} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{hauteur}$$ Pour le triangle $ABC$, on suppose que les côtés donnés sont les côtés, mais il manque la hauteur. Comme ce n'est pas précisé, on considère que le triangle $ABC$ est quelconque et on calcule le rapport des aires en fonction des côtés correspondants. Pour le triangle $DEF$, la base est $EF = 2x - 3$ et la hauteur est $DF = 3x$. 4. **Calcul du rapport des aires :** On suppose que les triangles sont semblables ou que le rapport des aires peut être exprimé par le produit des côtés correspondants. L'aire de $DEF$ est : $$\text{Aire}_{DEF} = \frac{1}{2} \times (2x - 3) \times 3x = \frac{3x(2x - 3)}{2} = \frac{6x^2 - 9x}{2}$$ Pour $ABC$, on prend la base $BC = 6x - 9$ et la hauteur correspondante $AB = 2x + 4$ (en supposant que $AB$ est la hauteur pour simplifier le calcul du rapport) : $$\text{Aire}_{ABC} = \frac{1}{2} \times (6x - 9) \times (2x + 4) = \frac{(6x - 9)(2x + 4)}{2}$$ Développons : $$(6x - 9)(2x + 4) = 12x^2 + 24x - 18x - 36 = 12x^2 + 6x - 36$$ Donc $$\text{Aire}_{ABC} = \frac{12x^2 + 6x - 36}{2} = 6x^2 + 3x - 18$$ 5. **Rapport des aires :** $$\frac{\text{Aire}_{ABC}}{\text{Aire}_{DEF}} = \frac{6x^2 + 3x - 18}{\frac{6x^2 - 9x}{2}} = \frac{6x^2 + 3x - 18}{1} \times \frac{2}{6x^2 - 9x} = \frac{2(6x^2 + 3x - 18)}{6x^2 - 9x}$$ Simplifions le dénominateur : $$6x^2 - 9x = 3x(2x - 3)$$ Donc $$\frac{\text{Aire}_{ABC}}{\text{Aire}_{DEF}} = \frac{2(6x^2 + 3x - 18)}{3x(2x - 3)}$$ 6. **Conclusion :** - Les restrictions sont $x > \frac{3}{2}$. - Le rapport des aires est $$\boxed{\frac{2(6x^2 + 3x - 18)}{3x(2x - 3)}}$$. --- **Problème supplémentaire (surface de but et surface de réparation) :** Le rapport des aires est donné par $$\frac{\text{aire surface de réparation}}{\text{aire surface de but}} = \frac{20}{3}$$ Les dimensions de la surface de but sont $\frac{x}{3}$ m de largeur et $(x + 1.5)$ m de longueur. L'aire de la surface de but est donc : $$A_{but} = \frac{x}{3} \times (x + 1.5) = \frac{x(x + 1.5)}{3}$$ Les dimensions de la surface de réparation sont $(2x + 7)$ m de largeur et la longueur inconnue $L$. L'aire de la surface de réparation est : $$A_{rep} = (2x + 7) \times L$$ Le rapport des aires est : $$\frac{A_{rep}}{A_{but}} = \frac{(2x + 7) L}{\frac{x(x + 1.5)}{3}} = \frac{20}{3}$$ On résout pour $L$ : $$ (2x + 7) L = \frac{20}{3} \times \frac{x(x + 1.5)}{3} = \frac{20 x (x + 1.5)}{9}$$ $$L = \frac{20 x (x + 1.5)}{9 (2x + 7)}$$ Ainsi, la longueur de la surface de réparation est $$\boxed{L = \frac{20 x (x + 1.5)}{9 (2x + 7)}}$$