1. **Énoncé du problème :** On a un triangle ABC avec AB = 9 cm, AC = 5 cm, BC = 6 cm. M est un point sur [AB] tel que AM = 3 cm, et N est un point sur [BC] tel que BN = 4 cm. 2. **Montrer que (AC) est parallèle à (MN) :** On utilise le théorème de Thalès qui dit que si un segment MN est parallèle à un côté d'un triangle, alors les rapports des segments correspondants sont égaux. 3. **Calcul des rapports :** $$\frac{AM}{AB} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$$ $$\frac{BN}{BC} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$ Les rapports ne sont pas égaux, donc on doit vérifier autrement. 4. **Vérification par le théorème de Thalès inversé :** On calcule la longueur MN et compare avec AC. 5. **Calcul de MN :** Le segment MN est sur la droite entre M sur AB et N sur BC. On peut utiliser la propriété des triangles pour calculer MN. 6. **Coordonnées pour simplifier :** Posons A en (0,0), B en (9,0) car AB = 9 cm sur l'axe x. C est en (x_C,y_C) à déterminer. 7. **Calcul des coordonnées de C :** AB = 9, AC = 5, BC = 6. On place A(0,0), B(9,0). Soit C(x,y). On a : $$AC^2 = x^2 + y^2 = 5^2 = 25$$ $$BC^2 = (x-9)^2 + y^2 = 6^2 = 36$$ 8. **Soustraction des deux équations :** $$(x-9)^2 + y^2 - (x^2 + y^2) = 36 - 25$$ $$x^2 - 18x + 81 + y^2 - x^2 - y^2 = 11$$ $$-18x + 81 = 11$$ $$-18x = -70$$ $$x = \frac{70}{18} = \frac{35}{9} \approx 3.89$$ 9. **Calcul de y :** $$x^2 + y^2 = 25$$ $$\left(\frac{35}{9}\right)^2 + y^2 = 25$$ $$\frac{1225}{81} + y^2 = 25$$ $$y^2 = 25 - \frac{1225}{81} = \frac{2025 - 1225}{81} = \frac{800}{81}$$ $$y = \sqrt{\frac{800}{81}} = \frac{20\sqrt{2}}{9} \approx 3.14$$ 10. **Coordonnées de M et N :** M est sur AB entre A(0,0) et B(9,0) avec AM=3, donc M(3,0). N est sur BC entre B(9,0) et C(35/9,20\sqrt{2}/9). Le vecteur BC est: $$\left(\frac{35}{9} - 9, \frac{20\sqrt{2}}{9} - 0\right) = \left(-\frac{46}{9}, \frac{20\sqrt{2}}{9}\right)$$ BN = 4, BC = 6, donc N est à $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ de B vers C. Coordonnées de N : $$N = B + \frac{2}{3} \times BC = \left(9,0\right) + \frac{2}{3} \times \left(-\frac{46}{9}, \frac{20\sqrt{2}}{9}\right) = \left(9 - \frac{92}{27}, \frac{40\sqrt{2}}{27}\right) = \left(\frac{243 - 92}{27}, \frac{40\sqrt{2}}{27}\right) = \left(\frac{151}{27}, \frac{40\sqrt{2}}{27}\right)$$ 11. **Vecteur MN :** $$MN = N - M = \left(\frac{151}{27} - 3, \frac{40\sqrt{2}}{27} - 0\right) = \left(\frac{151}{27} - \frac{81}{27}, \frac{40\sqrt{2}}{27}\right) = \left(\frac{70}{27}, \frac{40\sqrt{2}}{27}\right)$$ 12. **Vecteur AC :** $$AC = C - A = \left(\frac{35}{9}, \frac{20\sqrt{2}}{9}\right)$$ 13. **Vérification du parallélisme :** Deux vecteurs sont colinéaires si leurs composantes sont proportionnelles : $$\frac{70/27}{35/9} = \frac{70}{27} \times \frac{9}{35} = \frac{70 \times 9}{27 \times 35} = \frac{630}{945} = \frac{2}{3}$$ $$\frac{40\sqrt{2}/27}{20\sqrt{2}/9} = \frac{40}{27} \times \frac{9}{20} = \frac{360}{540} = \frac{2}{3}$$ Les rapports sont égaux, donc (AC) est parallèle à (MN). 14. **Calcul de la longueur MN :** $$MN = \sqrt{\left(\frac{70}{27}\right)^2 + \left(\frac{40\sqrt{2}}{27}\right)^2} = \frac{1}{27} \sqrt{70^2 + (40\sqrt{2})^2} = \frac{1}{27} \sqrt{4900 + 3200} = \frac{1}{27} \sqrt{8100} = \frac{90}{27} = \frac{10}{3} \approx 3.33$$ 15. **Démonstration que $BM^2 = BR \times BA$ :** R est l'intersection de la parallèle à (MC) passant par N avec (AB). 16. **Coordonnées de M et C :** M(3,0), C(35/9, 20\sqrt{2}/9). Vecteur MC : $$\left(\frac{35}{9} - 3, \frac{20\sqrt{2}}{9} - 0\right) = \left(\frac{35}{9} - \frac{27}{9}, \frac{20\sqrt{2}}{9}\right) = \left(\frac{8}{9}, \frac{20\sqrt{2}}{9}\right)$$ 17. **Équation de la droite parallèle à (MC) passant par N :** Forme paramétrique : $$x = x_N + t \times \frac{8}{9}, \quad y = y_N + t \times \frac{20\sqrt{2}}{9}$$ avec $x_N = \frac{151}{27}$, $y_N = \frac{40\sqrt{2}}{27}$. 18. **Trouver R sur AB (y=0) :** On impose $y=0$ : $$0 = \frac{40\sqrt{2}}{27} + t \times \frac{20\sqrt{2}}{9}$$ $$t = - \frac{40\sqrt{2}/27}{20\sqrt{2}/9} = - \frac{40/27}{20/9} = - \frac{40}{27} \times \frac{9}{20} = - \frac{360}{540} = - \frac{2}{3}$$ 19. **Coordonnée x de R :** $$x_R = \frac{151}{27} + \left(-\frac{2}{3}\right) \times \frac{8}{9} = \frac{151}{27} - \frac{16}{27} = \frac{135}{27} = 5$$ Donc $R(5,0)$. 20. **Calcul des longueurs :** $$BM = |9 - 3| = 6$$ $$BR = |9 - 5| = 4$$ $$BA = 9$$ 21. **Vérification de la relation :** $$BM^2 = 6^2 = 36$$ $$BR \times BA = 4 \times 9 = 36$$ Donc $BM^2 = BR \times BA$ est démontré. **Réponses finales :** - (AC) est parallèle à (MN). - $MN = \frac{10}{3}$ cm. - $BM^2 = BR \times BA$ est vrai.