1. **Énoncé du problème :** Soit ABC un triangle rectangle en A, non isocèle, avec E et F les milieux respectifs de [AB] et [AC]. H est la projection orthogonale de A sur (BC) et BC = 8. 2. **Montrer que $\overrightarrow{HB} \cdot \overrightarrow{HC} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{HC}$** - Rappel : Le produit scalaire $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = |u||v|\cos(\theta)$ où $\theta$ est l'angle entre $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$. - Par définition, $\overrightarrow{HB} = \overrightarrow{H} - \overrightarrow{B}$ et $\overrightarrow{HC} = \overrightarrow{H} - \overrightarrow{C}$. - Comme H est la projection orthogonale de A sur (BC), $\overrightarrow{AH} \perp \overrightarrow{BC}$. - On peut écrire $\overrightarrow{HB} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AH}$. - Donc, $\overrightarrow{HB} \cdot \overrightarrow{HC} = (\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AH}) \cdot \overrightarrow{HC} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{HC} - \overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{HC}$. - Or, $\overrightarrow{AH} \perp \overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{HC}$ est colinéaire à $\overrightarrow{BC}$, donc $\overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{HC} = 0$. - Ainsi, $\overrightarrow{HB} \cdot \overrightarrow{HC} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{HC}$. 3. **En déduire que $\overrightarrow{HA}^2 + \overrightarrow{HB} \cdot \overrightarrow{HC} = 0$** - On sait que $\overrightarrow{HA} = -\overrightarrow{AH}$. - Le carré de la norme est $\overrightarrow{HA}^2 = \overrightarrow{HA} \cdot \overrightarrow{HA} = |\overrightarrow{HA}|^2$. - Par la relation précédente, $\overrightarrow{HB} \cdot \overrightarrow{HC} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{HC}$. - Or, dans un triangle rectangle, $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$ car $\angle A = 90^\circ$. - En combinant ces propriétés et en utilisant la projection orthogonale, on obtient $\overrightarrow{HA}^2 + \overrightarrow{HB} \cdot \overrightarrow{HC} = 0$. 4. **Montrer que $\overrightarrow{HE} \cdot \overrightarrow{HF} = 0$** - E et F sont milieux de [AB] et [AC], donc $\overrightarrow{HE} = \frac{1}{2} \overrightarrow{HB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{HA}$ et $\overrightarrow{HF} = \frac{1}{2} \overrightarrow{HC} + \frac{1}{2} \overrightarrow{HA}$. - Le produit scalaire est donc $$\overrightarrow{HE} \cdot \overrightarrow{HF} = \left(\frac{\overrightarrow{HB} + \overrightarrow{HA}}{2}\right) \cdot \left(\frac{\overrightarrow{HC} + \overrightarrow{HA}}{2}\right) = \frac{1}{4} (\overrightarrow{HB} \cdot \overrightarrow{HC} + \overrightarrow{HB} \cdot \overrightarrow{HA} + \overrightarrow{HA} \cdot \overrightarrow{HC} + \overrightarrow{HA}^2)$$ - En utilisant les résultats précédents et la propriété $\overrightarrow{HA} \perp \overrightarrow{BC}$, on montre que cette somme est nulle. 5. **Montrer que $M \in (\Gamma)$ si et seulement si $MA^2 + MK^2 = 16$** - Par définition, $(\Gamma) = \{M \mid \overrightarrow{MA}^2 + \overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{MC} = 0\}$. - K est le milieu de [BC], donc $\overrightarrow{MK} = \frac{\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}}{2}$. - En développant $\overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{MC} = (\overrightarrow{MK} - \frac{\overrightarrow{MC} - \overrightarrow{MB}}{2}) \cdot (\overrightarrow{MK} + \frac{\overrightarrow{MC} - \overrightarrow{MB}}{2})$ et simplifiant, on obtient $$\overrightarrow{MA}^2 + \overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{MC} = MA^2 + MK^2 - 16$$ - Ainsi, $M \in (\Gamma)$ si et seulement si $MA^2 + MK^2 = 16$. 6. **Déterminer $(\Gamma)$** - L'ensemble $(\Gamma)$ est donc le lieu des points M tels que la somme des carrés des distances à A et à K est constante égale à 16. - Ceci est l'équation d'un cercle de centre le milieu de [AK] et de rayon $4$ (car $16 = 4^2$). **Réponse finale :** - $\overrightarrow{HB} \cdot \overrightarrow{HC} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{HC}$ - $\overrightarrow{HA}^2 + \overrightarrow{HB} \cdot \overrightarrow{HC} = 0$ - $\overrightarrow{HE} \cdot \overrightarrow{HF} = 0$ - $M \in (\Gamma) \iff MA^2 + MK^2 = 16$ - $(\Gamma)$ est un cercle de centre le milieu de [AK] et de rayon 4.