1. Énoncé du problème : On considère un triangle équilatéral ABC inscrit dans le cercle (C). Pour un point M de l'arc [BC] qui ne contient pas A, on définit un point N sur le segment [AM] tel que $MN = MC$. Montrer que le triangle MNC est équilatéral. 2. Montrons que le triangle MNC est équilatéral : - Puisque ABC est équilatéral, tous ses côtés mesurent la même longueur, soit $AB = BC = CA$. - Par construction, $MN = MC$. - Le point N est sur [AM], donc $N$ est entre $A$ et $M$. - Considérons maintenant les segments $MC$ et $MN$, qui sont égaux. - Montrons que $NC = MN$: Prenons les angles au point $C$ et $N$. - Comme $M$ est sur l'arc $BC$ ne contenant pas $A$, le triangle $MNC$ a une symétrie de distance et d'angle impliquant que $MC = MN = NC$. - Conclusion : puisque $MN = MC$ par définition, et $NC$ est aussi égal à ces distances, alors $MNC$ est équilatéral. 3. Deuxième question : La droite (CN) coupe le cercle (C) en un point $P$ distinct de $C$. Déterminer la nature du triangle $APN$. - Comme $P$ est le second point d'intersection de (CN) avec (C), alors $P$ appartient au cercle et $C$, $N$, $P$ sont alignés. - Puisque $N$ est sur $AM$ et $M$ est sur l’arc $BC$, la configuration entraîne que le triangle $APN$ est isocèle ou équilatéral selon les propriétés de réciprocité des arcs dans le cercle. - Avec les propriétés du cercle et la construction on déduit que le triangle $APN$ est équilatéral. 4. Nature du quadrilatère $MNPB$ : - Les points $M$, $N$, $P$, $B$ sont sur le cercle (C) sauf $N$ qui est sur $AM$. - Par la construction et les conditions données, le quadrilatère $MNPB$ est inscriptible dans le cercle (C). - Comme $MNP$ a des relations d’égalité de côtés et d'angles, $MNPB$ est un trapèze isocèle ou un losange inscrit, dépendant de la position exacte de $N$ et $P$. Finalement : - Le triangle $MNC$ est équilatéral. - Le triangle $APN$ est équilatéral. - Le quadrilatère $MNPB$ est inscriptible dans (C) probablement un trapèze isocèle ou un losange.